重发，道可道，无门关 和 歌德尔 ，清晰和模糊的爱恨情愁：）

这几个豆干小文算是歌德尔和无门关的姐妹篇。

一并帖上供大家批判：）

自指的故事 https://bbs.wenxuecity.com/teatime/746118.html

自指的说明 https://bbs.wenxuecity.com/teatime/746493.html

烧脑的实例 https://bbs.wenxuecity.com/teatime/746599.html

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罗素认识到＂自指＂对数学理论建构的伤害。

他的＂数学原理＂小心地避过任何自指。

从非常基本的逻辑定义和公理出发，仅用逻辑符号进行推理，

从中建立起可以描述自然数特性数学理论。

他和Whitehead 巨著共三卷， 在自然数理论上非常成功。

＂数学原理＂据说非常＂原始＂，到了第三百页才把＂1 ＂定义出来：）

这套系统因为原始而纯粹，它为数学逻辑描绘出了一幅美好的前景，

似乎从此以后逻辑推理就会变得纯粹而自然（和无所不能？：）

 

但是没高兴几年，小歌（25岁的Gödel) 出道了，

他在1931年证明了 罗子这套方法还是没逃过＂自指＂：）

 

这是民科版的解释，欢迎猛砸：）

 

小歌注意到当你用纯逻辑符号推理时，如果把这些个符号都编上数码，

那么每一条逻辑定义，公理和推出的定理，都可以表达成一个特定的自然数(prim number)。

小歌找到了一种映射方法，使得这样的数和定理（义）一定是一一对应，可以互相转换。

 

这样逻辑推理实际上就是在定义数列（G数列)。

这个数列和我们熟悉的数列 像Fibonacci (F n = F n-1  十 F n-2) F数列一样，

根据＂公式＂推出下一位数字。

在数列中，一个重要的问题是怎么知道 那些数是在数列中。

F数列是简单递增的，所以足够的运算一定能回答在不在问题。

这个＂在不在＂问题对G数列更重要，＂在＂ 则表示相对应的定理可证 (prim number)，

＂不在＂ 则表示相应的表达不真(non-prim)。

非常遗憾的是 G数列不像F数列， 它的数可能变小。

所以不把路径都试过，你不能知道答案：）

 

罗子的这套方法在完美解释自然数的同时也被眏射回自然数。

一但发现这个多重眏射，构造＂自指＂就变得简单了。

因为归根到底，这就像是用自然数去解释自然数：）

 

小歌说了句：”A certain integer g is not a prim number “，

这应该是人畜无害的大实话 （定理）。

但是注意，如果这个＂g ＂正好是 ＂A certain integer g is not a prim number ＂

这个定理的prim number, 就悲剧了：）

最后这个类似于 Quine paradox 表达是小歌证明的简化版，抄下来供大家体会：

(From I am a strange loop p143)

＂when fed its own Gödel number yields a non-prim number”

when fed its own Gödel number yields a non-prim number.

 

去掉多余的客气，小歌实际上在说：

他用＂数学原理＂发现了一个定理，但＂数学原理＂不给力，

不能证明：）

 

G E B 和＂I am a strange loop” 是科普读物：）

相关系列文章可以从这开始

https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems

https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del_numbering

MIT lecture 3 about GEB 

https://youtu.be/86AHsIduncM?si=WS5eXx2JkH-KKU5J