回报率的不确定性对长期持有投资的影响

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回报率的不确定性对长期持有投资的影响

在《平均年回报率与年化总回报率的差别》一文中，我们看到年化总回报率比平均年回报率要低一些。为什么呢？网友们回答了这个问题：几何平均一般小于算术平均，只有在所有的数字都相同时等号才成立。

假定每年的回报率是$R_i$，我们在做平均时用的是每年的总回报率$(1+R_i)$，也就是前1年年底的$1,到这个年底变成了$$(1+R_i)$。这个不等式说： \[ [(1+R_1)(1+R_2)...(1+R_{24})]^{1/24} \leq \frac{1}{24}[(1+R_1)+(1+R_2)+...+(1+R_{24})] \] 只有所有$R_i$都一样时等号才成立。

前面那个帖子，网友们在跟帖中都正确指出算术平均没什么用，长期投资者都看年化回报率。$n$年的总回报率是 \[\text{TR}_n=(1+R_1)(1+R_2)...(1+R_n)\]（也就是平时大家说的涨到多少倍的意思），年化一下就是 \[\text{TR}_{\text{ann},n}=\text{TR}_n^{1/n} \] 再减去1就是年化回报率 \[R_{\text{ann},n}=\text{TR}_{\text{ann},n}-1\]

我们的猛牛大侠还说中位数意义比平均数大一些（当然他也强调了年化回报率）。我进一步提了个问题：假定每年投资回报率只有两种可能，涨50%或跌40%，可能性一半对一半。一次性投1万，然后捂着不拿出来。10年后中位数该是多少呢？20年后？50年后？在我们对这个问题做更详尽的分析前，先简单回答一下$n$年后中位数是什么。因为每年涨跌可能性是一半对一半，$n$年后最中间的情况是一半的年份涨另一半年份跌 \[ \text{median} = (1+0.5)^{n/2}(1-0.4)^{n/2}\] \[= [(1+0.5)(1-0.4)]^{n/2} = 0.9^{n/2} < 1\] 这个数字小于1，所以年化回报率\[\text{median}(R_{\text{ann},n})=\text{median}(\text{TR}_{\text{ann},n})-1\]\[=[(1+0.5)(1-0.4)]^{1/2}-1=-5.1317\%\] 我想 mobius 网友是做了随机模拟，得到了类似的结论。这么好平均每年5%回报率的投资，长期捂着不动居然年化回报率中位数是负的！其实学过一点点概率统计的还可以严格证明，这么捂着不动长期捂下去钱就慢慢没有了（概率术语是“几乎必然”，普通话就是"非常确定"）。