回报率的不确定性对长期持有投资的影响（2）

有全裸数学公式，18岁以下免进！

在《回报率的不确定性对长期持有投资的影响》一文中，我们看到有些正平均年回报率的投资，长期持有捂着不动也可能慢慢把钱输光，因为买了捂着不动的投资方法最终好坏是由年化回报率决定的。即使（算术）平均年回报率是正值，几何平均的年化回报率也有可能是负值。只要几何平均年化回报率是负值，买了捂着不动钱就慢慢输光了。

今天我们进一步分析这个悖论。假定每年的回报率是独立同分布的随机变量 \(R_i\)，假定每年总回报率的期望值是 \[E(1+R_i)=\overline{\text{tr}}\] 如同前一文，\(n\) 年的总回报是 \[\text{TR}_n=\prod_{i=1}^n(1+R_i)\] （也就是平时大家说的涨到多少倍的意思）。 \(n\) 年总回报年化一下就是 \[\text{TR}_{\text{ann},n}=\text{TR}_n^{1/n} \] 把年化总回报率改写一下： \[\text{TR}_{\text{ann},n}=\exp\left\{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log(1+R_i)\right\}\] 如果 \(\log(1+R_i)\) 的期望值存在（\(-\infty\) 也算），根据大数定律（law of large numbers）可以推断： \[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log(1+R_i) \to E\log(1+R_i) \text{ (almost surely) as } n\to\infty\] 也就是 \[ \text{TR}_{\text{ann},n} \to \overline{tr}_g \text{ (almost surely) as } n\to\infty \] 其中 \[ \overline{tr}_g = \exp\left\{E\log(1+R_i)\right\} \] 就是 \(1+R_i\) 的几何期望值。根据数学里的 Jensen 不等式，\(\overline{tr}_g \leq \overline{\text{tr}}\)，等式仅当 \(R_i\) 是常数时成立。如果 \(\overline{tr}_g < 1\)，买后捂着不动的投资价值 \(\text{TR}_n=(\text{TR}_{\text{ann},n})^n\) 就会非常确定地趋向零。

当 \(\overline{tr}_g < 1 < \overline{\text{tr}}\) 时我们遇到了一个悖论 \[\text{TR}_n \to 0 \text{ almost surely as } n \to \infty\] \[E(\text{TR}_n) = (\overline{\text{tr}})^n \to \infty \text{ as } n \to \infty\] 我这样解释这个悖论：随机过程 \( \text{TR}_n \) 存在于许多平行宇宙。在大多数平行宇宙里 \(\text{TR}_n \to 0\)。在极少的平行宇宙里 \(\text{TR}_n\) 增长得非常快。把所有平行宇宙平均一下就是 \(E(\text{TR}_n) = (\overline{\text{tr}})^n \)，还是增长得很快。举个简单的例子：改进的 double or nothing game，\(R_i\) 或者是120%或者是-100%，机会一半对一半。把 \((1+R_i)\) 算术平均一下是110%，几何平均一下是 0。学过计算机课程或金融数学的都知道二杈树（binomial tree）。在这个例子里，二叉树上只有最上面的那个杈每次生存下来，其他的都死掉了。分杈 \(n\) 次后生存下来的概率只剩下 \(1/2^n \to 0\)。可是你算一下期望值 \(E\text{TR}_n\)，它还是 \(1.1^n \to \infty\) 。

古诗说：春种一粒粟，秋收万颗子。四海无闲田，农夫犹饿死。 我的歪批理解是：有些农夫就真的春天只种了一粒粟，被隔壁老王家的小松鼠挖出来吃掉了，家里一点余粮也没有。如果有两万粒粟的话，我觉得春天要种万粒粟，这样秋天平均也许就能收个百万颗子（去掉小松鼠吃掉的），这个算法只涉及算术平均而不涉及几何平均，虽然还是有可能颗粒无收但概率很小很小。还有个办法也不涉及几何平均：每年春天就种一粒粟，无论秋天收多少，下一年春天还是种一粒，这样就打破了年化平均的魔咒（当然了，家里要有余粮不至于成为饿死的农夫）。