闲聊代数几何
有人认为代数几何是很难理解的数学。本文想通俗地介绍它的一些基本概念。在平面上有一单位圆, x^2 + y^2 = 1. 设 圆上的点 的座标为 (1/√ 2, 1/√ 2), (1/√ 2, -1/√ 2) 。 对应在座标轴上可表示如下：这就构成座标环（Ring）。
—---------( -1/√ 2)-----------------(1/√ 2)-----------(3/√ 2 )-----
在单位圆上取值的函数 f1(x, y) = y －－－ [(1/√ 2, 1/√ 2), (1/√ 2, -1/√ 2)] —----> (1/√ 2 )
函数 f2(x, y) = x + 2y —----- [(1/√ 2, 1/√ 2), (1/√ 2, -1/√ 2)] —----> (3/√ 2 )
函数 g1(x, y) = x + 2y + x^2 + y^2 - 1，与 f2(x, y) 相同。
函数 g2(x, y) = x + 2y + y*(x^2 + y^2 - 1)，与 f2(x, y) 相同。
函数 g3(x, y) = x + 2y + h(x, y)*(x^2 + y^2 - 1)，与 f2(x, y) 相同。
函数 g1(x, y) ，函数 g2(x, y)，函数 g3(x, y) 都是R 的成员。R 是圆的座标环，圆的几何特性encode 成座标环的代数特性。
对于多项式也是一样，也可构成一个环R 。现有代数曲线(1) y^2-x^2 = (y - x)(y + x) = 0 ; (2) x + y^2 = 0 (抛物线)。设 R 是 (1) (y - x)(y + x) = 0 的环; G 是 (2) x + y^2 = 0 的环 . 在（1）中，因为 (y - x) 和 (y + x) 不能同时为零，只有(x, y) = (0, 0) 才有可能 , 也就是说原点是一奇异点。（1）曲线是可约简的；而 （2）曲线是不可约简的。
又有 代数曲线(3) y^2-x^2*(x + 1) = 0 . （3）可以分解为（4）(y - x* √ (x + 1))*(y+ x*√ (x + 1)) , 而 √ (x + 1) = 1 + x/2 - x^2/8 + …. 属于多项式环R。 R 改写为 幂级数环。 在接近原点处 （4）近似等于 （1）(y - x)(y + x) = 0，所以原点是（3）的 一奇异点
最后说说环的代数特性怎样（反过来）转成“几何空间”的几何特性。设有一整数环Z 转成 Spec Z, 环的谱, 概型 (Scheme) 。概型的 “图像”如下
－（2）－（3）－－（5）－－（7）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（0）－－
列出所有质数（2），（3）， 。。。 和（0）。而整数环中的整数，如 10，是 10－整数函数（把整数变成几何空间函数），在各个质数上取值为：质数2 是 0(mod2），质数3 是 1(mod3), 质数5 是 0(mod5), 质数7(mod7) 是3， 。。。 ；在数 0 回来原数 10。
是有点不好理解 ？
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