详解: 垂心的轨迹 y = +- (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2) 。

一般情况下,单位圆上一直径的两端点A,B与圆外一点P可以构成一三角形.如果点P到圆心的距离为R,那么点P以圆心为定点,R为半径,绕行一周.试求点P与A,B构成的三角形的垂心的轨迹.
注意:点P在AB延长线上可视同为特例,包括在轨迹内.

解：
用解析几何，令单位圆心为座标原点，点A,B,P的座标为：A（-1，0），B（1，0），P（xp，yp）. 因为单位圆外一点P到圆心的距离为R, R > 1 并且
xp ^2 + yp ^2 = R^2 ………………………………………………………………………（1）

三角形ABP的垂心是三角形ABP的任何两个高线的交点。
要得点A到BP 的高线，首先要知直线BP。通过BP的两点式方程为：
（yp - 0） / （xp - 1）= （y - 0） / （x - 1）将其整理，得方程
yp * x - （xp - 1）* y – yp = 0
方程的斜率 k1 = yp /（xp - 1）…………………………………………………………（2）

令A到BP 的高线方程斜率为k2，那么它的斜截式方程为：
y - 0 = k2 *（x + 1）………………………………………………………………………（3）
因为点A到BP 的高线垂直之于BP，两直线方程斜率乘积为 -1。
k1 * k2 = -1，将k1表达式（2）代入得
k2 = -1 / k1 =（1 - xp）/ yp。将此k2表达式代入（3）得点A到BP 的高线方程
y = （1 - xp）*（x + 1）/ yp。……………………………………………………………（4）

点P到AB 的高线就是通过点P的垂直之于AB（x轴）的直线
x = xp ………………………………………………………………………………………（5）

三角形ABP的垂心座标就是直线方程组（4）和（5）的解。实际上，垂心x座标就是方程（5）所示的xp。
将（5）代入（4）得
y = (1 - xp^2 ) / yp …………………………………………………………………………（6）
垂心y座标就是方程（6）。

从（1）得
yp = +- sqrt(R^2 - xp^2) 将其代入（6）得
y = +- (1 - xp^2 ) / sqrt(R^2 - xp^2)， 根据（5），将xp替换成x就得

y = +- (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2) 。

这就是当点P以圆心为定点,R为半径,绕行一周,点P与A,B构成的三角形的垂心的轨迹方程。

讨论：由于无法画图，只好凭每个人的相像自己画图了。

1. 垂心的轨迹包括两条曲线：
y = (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2) 和 y = - (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2)、
分别对应于点P的y座标yp >= 0和yp 所以下面只讨论曲线y = (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2)，也就是点P的y座标yp >= 0的情况。

2. 曲线y = (1 - x^2 ) / sqrt(R^2 - x^2)以y轴为对称. 所以下面只讨论0
3. 垂心的x座标永远和点P的x座标xp一致。换言之，垂心永远和点P在同一垂直线上。在点P以圆心为定点,R为半径,绕行一周时，其x座标xp活动范围是[-R，R]，垂心的x座标活动范围也是[-R，R]。根据讨论2.，下面只讨论0
4. x = 0时，y = 1 / R，xp = 0 和yp = R。这意味着当点P位于y轴上，垂心也位于y轴上并位于曲线的最高点。此时，三角形ABP是等腰锐角三角形。

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6. x = 1时，y = 0，xp = 1 和yp = sqrt( R^2 - 1)。这意味着当点P向右下滑到x座标为1时，垂心沿曲线向右下滑到x座标为1的x轴上，也就是点B。此时AB垂直于BP，三角形ABP成为直角三角形。

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8. x = R时，y = 负无穷，xp = R 和yp = 0。这意味着当点P向右下滑到x轴上时，垂心沿曲线向右下滑，落向无底的深渊。此时点A，B，P三点共线都位于x轴上。

解完。

最后，向楼主致谢！