趣味数学问题（二）(解答提示和答案--由 问题提出人Franklinyanger提供

问题提出人Franklinyanger提供）

       趣味数学问题（二）

（1）（黄金分割）
有一块正四棱錐形状的纯黄金：V-ABCD，四侧棱VA=VB=VC=VD=4cm,底边AB=BC=CD=DA=4cm.令VA 的中点为R，BC 的中点为S，CD 的中点为T。过R，S，T 三点的平面刀，把V-ABCD 切成两块，切口为五边形RPSTQ，其中P 和Q 分别是平面刀与侧棱VB 和VD 的交点。
（a)求五边形RPSTQ 的面积；
(b)如果整块黄金价值一万美元，问切割成的两块黄金各值多少美元？

Solution：
(a)把正四棱椎V-ABCD放在3-D直角座标系 O-xyz 中：A在原点即A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）。容
  易算出顶点V的座标V（2，2，2*sqrt(2))(by 勾股定理），及R(1,1,sqrt(2)),S(4,2,0),T(2,4,0).用“向量X积”容易算出过R，S，T的平面方程：x+y+2*sqrt(2)z=6.算出直线VB 和直线VD的方程，结合平面RST方程，可算出P，Q的座标：P（7/2，1/2，sqrt(2)/2),Q(1/2,7/2,sqrt(2)/2)).再用“向量X积”容易算出三角形RPQ面积为3*sqrt(5)/2.易知ST的中点（设为M）M（3，3，0）由两点距离公式算出RM，再算出梯形PSTQ 面积=5*sqrt(5)/2.
最后，五边形RPSTQ面积=三角形RPQ面积+梯形PSTQ面积=4*sqrt(5)=sqrt(80).
(b)两部分中的上部（即包含定点V的部分）是由一个五棱椎和一个三棱椎组成。这部分的体积是16*sqrt(2)/3.
而V-ABCD的体积是32*sqrt(2)/3,所以另一部分的体积也是16*sqrt(2)/3.所两块黄金的价值都是5000美元。