我来谈谈这个问题——三个盒子的概率题

体坛imayazifan出了一道趣味题，如下：(http://bbs.wenxuecity.com/sports/1013578.html)

话说一日赌棍逃课路过了麻子开的赌庄。嗜赌如命的逃课哪有过赌庄不入的道理。施施然踱入院中。只见麻子手指三个盒子在那里大呼小叫＂我这里有三个盒子，其中一个里面有个香蕉盒子。交上5块钱你就可以猜一猜。猜中了香蕉盒子归你＂。逃课眼珠一转，心想天下竟有这等好事。这赌庄的老板大概是钱多的没地方花，才设了个这么个弱智的局。二话没说5块大洋拍在了桌上。上下左右打亮了一下这三个盒子，挑了一个最钟意的。还没等逃课打开手中的盒子，麻子大喊一声＂且慢＂，随即打开了自己手中的一个盒子，里面空空如也。麻子笑眯眯地问逃课＂你想不想换剩下的另一个盒子？＂ 逃课吃了一惊，心想这是什么门道。难道他做弊挖了个坑等我跳？还没等逃课回过神，看热闹的人群中山寨高声嚷道＂这位客人不要上了麻子的当，换不换你得香蕉盒子的机会都是５成。还是守着你的初恋不换的好＂. 话音未落，另一个看客钢丝笑岔了气，＂客官你好运气，赶紧换赶紧换，换了你得香蕉盒子的机会就比你原来的翻了一倍＂。

逃课聪明一世糊涂一时，觉的山寨钢丝说的好象都有道理。你说呢？

很显然，这道题本自著名的Monty Hall problem。对于这个问题的正确答案，已经争论了上百年，争论之声至今不绝，以至于这个问题也被冠名为悖论，Bertrand's Box Paradox。

为何大家争论不休呢？关键是大家都在纸上谈兵，而都不去亲自试一下。当然，像Martin Gardner那样表达成three prisoners problem，事关生死，就不好试了。但可以玩游戏。小家庭三四口人，重复玩它一两百次，答案自明。这种玩法，还有个学名，叫Monte Carlo simulation。

具体到上面的问题，山寨和钢丝正好代表了两种典型的意见，即
山寨：换不换都一样。理由是打开一个盒子后，剩下两个盒子的概率同时发生变化，都增加到1/2，还是相等
钢丝：必须换。理由是打开一个盒子后，逃课选中的那个盒子的概率是不变的，仍是1/3；而剩下那一个盒子的概率增加到2/3，即增加一倍概率。

先说逃课的选择：换。根本不用去考虑山寨和钢丝谁说的对，只要他们俩肯定有一个人说的对的话，那就换，因为这样做不亏（山寨对，换不换一样，换也不亏；钢丝对，换就赚了，当然不亏）。

现在来谈原来的问题，即三个盒子问题。
山寨的意见，代表一大部分受过高等教育的有识之士的看法，其中包括现代最伟大的数学家Paul Erdos。他们的主要论点是，一旦打开一个空盒子，那么就变成了条件概率问题，剩下的两个盒子哪个里面有东西，还是不知。如果现在来一个新人，让他挑选一个，那两个盒子的概率肯定是均等的，选哪个都一样。这个新人，与盒子打开后的山寨面临的是同样的问题，答案自然也一样。
钢丝的意见，代表人物是Marilyn vos Savant 和Martin Gardner，也都是响当当的人物，尽管比Paul Erdos要差几个数量级。他们的主要论点是，原来选中的那个盒子里面有没有东西的概率，已经定了，不受后来打开一个空盒的影响，并且把各种情形罗列了出来，作为证明。
平心而论，钢丝们的这种“证明”，没有让我感到信服。
我现在试用我自己的证明方法，来让我自己感到信服。

先把原题重新formulate一下：
1. 麻子网友把三个盒子并排摆放在桌面上，其中一个里面有香蕉盒子
2. 逃课网友从中挑选了一个
3. 麻子网友把挑选出来的盒子放在最左边，我们称之为A盒
4. 麻子网友从另外两个盒子里，打开一个空盒，放在最右边，我们称之为C盒。
5. 剩下那一个放在中间，我们称之为B盒。现在A、B、C三个盒子并排而列。
问题是逃课的A盒，要不要换成B盒呢？前面已经说了答案，不管谁对谁错，都换，只赚不亏。

现在我们需要刨根问底一下：A、B盒里有东西的概率是多少？是山寨的A（1/2）和B（1/2），还是钢丝的A（1/3）和B（2/3）？

在未具体证明之前，先说答案：A（1/3）和B（2/3）

我还没见到有人跟我一样的解答过程，故下面说的详细一些：

但我们现在来做些铺垫。
大家都有用Excel的经验。Excel的背景一般是白色的。如果我们在一格里用白色字体写上“香蕉盒子”几个字，你是看不出来的。但如果用鼠标按住左键扫过这个格子，这几个字就显影了。
另外一个是想象一下并排有几个格子，其间的格板可以拉起来，把两个格子合并成一个格子，也可以平移格子，使格子变长变短，还可以把格子提起来（连同里面的东西），放到另外的位置。

证明方法是采用并行演示的方法，后两种显而易见证明了概率分布是1/3 + 2/3，因此原题的结果也是1/3 + 2/3。

1.
a. 麻子网友把三个盒子并排摆放在桌面上，其中一个里面有香蕉盒子
b. 在Excel的第一列头3个格子里，其中一个麻子网友用白色字体写上“香蕉盒子”4个字
c. 麻子网友在并排三个可移动的格子里，任选一个放进一个香蕉盒子

2.
a. 逃课网友从中挑选了一个
b. 逃课网友从中指定了一个Excel格子
c. 逃课网友在并排三个可移动格子里，指定一个

3.
a. 麻子网友把挑选出来的盒子放在最左边，我们称之为A盒
b. 麻子网友把逃课网友指定的Excel那列，cut+insert到第一列，A列
c. 麻子网友把逃课网友指定的那个格子，移到第一个位置，A格

4.
a. 麻子网友从另外两个盒子里，打开一个空盒，放在最右边，我们称之为C盒
b. 麻子网友把Excel第一行的第2、3两个格子，点merge，再点unmerge，则最右边为空格。如果这两个格子里，不管哪个格子里有“香蕉盒子”字样，现在肯定在中间那个。第3列为C列。
c. 把移动格子里面第2、3格子中间的挡板拉开，2、3个变成一个格子。再把挡板在格子的外边插下去，形成一个空格，C格。

5.
a. 剩下那一个放在中间，我们称之为B盒。现在A、B、C三个盒子并排而列。
b. Excel第一行第2格，B格。现在A、B、C三个格子并排而列。
c. 可移动格子的A格和C格之间是拉开挡板而形成的格子，B格。

对于步骤b.和c.，没有争议的，可以看出是A(1/3) + B(2/3)。由此，原题的a.步骤，给出的也是A(1/3) + B(2/3)

证毕。