yam16的三圆覆盖问题的一个完整证明(15少证明的细节补充）

三个单位圆至少能覆盖一个单位圆，最大直径不小于2.
最大直径大于2的一些必要条件。

三个圆的圆心必成三角形。如果是一条直线，则被覆盖的面积在两条矩离为2的平行线之间。不可能有直径大于2的被覆盖圆。

此时，三圆形成一个三瓣花形，如图。

2）A，B，C三点不能是被覆盖圆的内点。因为其每一个邻域中都有不被覆盖的点。

考虑圆o3和它上面的弦AB。参见上图。
3）圆o3中AB的外侧(上方)中的任一点，作半径大于1的圆，其中必有不被覆盖的点在外侧。事实上，以点为中心作一长度大于2的平行于AB的线段，至少有一端的端点是不被覆盖的点。
4）圆o3中AB的内侧(下方)的点，以其为中心作圆，且不含有外侧的外点。半径最大值在AB的中垂线上得到。
任取一点，作AB的平行线，得一弦。考虑弦上所有的点，可以看出最大半径在其中点处得到。
5）不考虑其它圆，这个最大半径就是AB弧的中点与A，或B之间的距离。进一步，如果这个最大半径大于1，则AB所对的圆心角在120与180之间。从而AB的长度在根3与2之间。
这个可以直接计算而得到。

回归本题。最大被覆盖圆的直径如果大于2，由3）其圆心必在三角形ABC中。由4）圆心就是ABC的外接圆圆心。
由5）ABC三边之间，总有a^2 + b^2 - c^2 >=3 + 3 - 2 > 0.由余弦定理，三个角都是锐角。

由下面题的结果，最大被覆盖圆的直径就是周长等于2的正三角形外接圆的直径。

题外的话

四圆问题，边长为2的正方形的外接圆的直径是2sqrt（2）这个是不是答案？

五圆以上就不可能有这样的可能了。五个圆心在正五边形的中点，要覆盖其内部，边长不可能等于2.