部分解

没有找到全部解，但如果把题设条件"数字完全相同只是排列的顺序不一样" 加强为
"数字完全相同，而且排列的顺序形成轮换", 则能得到一个解如下。
设此六位数为
 x = "ABCDEF"
按题意， 把此数乘以2，3，4，5，6后，结果都是下面数中的某一个(不一定按次序)
 BCDEFA
 CDEFAB
 DEFABC
 EFABCD
 FABCDE
 
首先，因为6*x还是六位数，必定有A=1
考虑无限循环小数(循环节长度为6)
 y = 0.ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF...

10y-1 = 10y-A = 0.BCDEFABCDEFABCDEFABCDEFA...
即10y-1是以"BCDEFA"为循环节的小数。由题意，必有整数2<=k<=6, 使得
   BCDEFA = k*ABCDEF
因此   0.BCDEFABCDEFABCDEFABCDE...
    = k*(0.ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEF...)
    = k*y
故  10y-1 = k*y
y = 1/(10-k)
k取2，3，4，5，6时， y分别为 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 其中只有1/7是循环节长度为6的小数：
  y = 1/7 = 0.142857142857...
故 x="ABCDEF" = 142857
不难验证142857确实满足题设条件