另辟蹊径，简化了推导，非常棒。

我按给出的公式用Excel算了一下，当选最大时间为10秒时，R=9.911 个地球半径 （R=9.911 r），而自由落体公式算出的高度是490米 （R-r=490米）。显然在10秒内，达到8.911个地球半径的高度有些超出物理现实。 我再三检查了EXCEL，确信计算无误（公式比较复杂，计算错误的可能性也有）。

可能是在第二个积分时候，选的积分上下限需要再考虑一下 （您的思路是当t=0时，物体位于最高处。最大时间为从此高处下落到达地面所用的时间。这里，在同等时间前提下，当上抛时候，初速度如果和下落到达地面的速度一样，最后到达的高度与从上面初速为零释放而下落的高度是一致的，因此所推出的公式也适用于上抛运动）。

按您推导的思路，结合上面所说的上下限，得出如下公式：

落地时最大速度：

T: 落地时间，、eta = R/(R+H); R: 地球半径，H: 最大高度。g 重力加速度  （注意，这里R是地球半径）

取不同时间，可数值解得 最大高度H如下：

T1=10 秒； H1= 489.938 米    

T2= 100秒；H2=48386。7米

T3= 2530秒；H3=7816902米 （=1.229672 倍地球半径）。落地速度（或上抛速度）为每秒 8.289公里，大于第一宇宙速度每秒7.91公里

而小于第二宇宙速度每秒11.18公里。

H1 与H2 和自由落体公式结果相差无几。而H3是自由落体公式计算结果的四分之一。在此高度下，物体受地球的引力是在地面引力的4.9714 分之一倍。T3是物体在地球内部往返周期的一半（行程为地球直径）。二者均视地球质量分布为均匀的，忽略空气阻力的影响（和实际情况会相差甚远。如果有空气作用，物体下落后不久会达到一个匀速运动状态，速度不会始终加速，这样会大大增加降落时间）