不太容易求f(2)

令 g(x) = f(f(x))= x^2 - x + 1
则 f(g(x)) = f(f(f(x))) = g(f(x))
即   f(x^2 - x + 1) = f(x)^2 - f(x) + 1   ------ (1)

利用(1)可以求f(0)和f(1)
当n=1时， x^2-x+1 = x = 1, 由(1)可得出f(1)=1
又把x=0代入(1), 得 1=f(1)=f(0)^2 - f(0) + 1
因此 f(0)=0 或 1. 但因f(f(0))=0^2-0+1=1, f(0)不可能为0
故f(0)=f(1)=1
以上其实是与万大侠相同的思路。

当试图想用(1)来求其它数的值(例如2)时却遇到困难: 把x=0或x=1,x^2-x+1=0或x^2-x+1=1代入
(1)时，还是只能得到f(0)和f(1)的值，我们遇到一个"封闭"的情况。
唯一的例外是当x^2-x+1=0, 得到 x=1/2(1+sqrt(3)i), 可由(1)求出f(1/2(1+sqrt(3)i))
的值，可它不是实数

不过以上的分析也不是全无用处，我们至少可断言f(x)不可能在复数范围内都有定义
如若不然， 令 ω=1/2(1+sqrt(3)i), 设 u=f(ω)
则 f(u) = f(f(ω)) = ω^2 - ω + 1 = 0   --- (2)
因此 u^2-u+1 = f(f(u)) = f(0) = 1
故u=0 或 1, 而这两种情况下都有f(u)=1， 与(2)矛盾

我感觉这样的f(x)即使在实数范围内也不存在，但还想不到确切的方法证明。