集合的除法运算

在KDE235大师对f(x)存在性的证明过程中，提到了等价关系与等价类的概念。明了这两个概念及其基本性质是明了其证明过程的前提条件。作为一个学习笔记，下面简述一下我对这两个概念通俗与浅显的理解。

在初等算数中有除法，例如，我们要把80个苹果装到袋子里，每袋装8个苹果，问可装多少袋子。类似于此，我们在日常生活中经常要对某些事物按该事物的某种特性进行分类，比如按性别对人或动物的分类，按品种或颜色对花卉或植物的分类。这种分类和算数中的除法有类似之处，都是将一个整体做某种分拆。但在数学中，具体说集合论中，对这种分类有着更严格与明确的定义。

这种严格的定义基于“等价关系”上。在一个给定的集合 S 中，如果每个元素对(a, b)之间都有某种二元关系（这种关系可以是自然存在的，也可以是定义出来的），且这种关系同时满足如下三种性质，就称这种关系为等价关系：

1。具有自身反射性：就是每个元素必须自身对自身 (a,a) 要符合这种关系。

2。具有对称性：即如果a 与 b 具有这种关系，那么 b 和 a 具有同样的关系。

3。具有传递性：即如果a 与 b , b 与 c 具有这种关系，那么可以推知 a 与 c 也同样具有这种关系。

例如，如果把汽车按颜色来分类，那么汽车的颜色是否一样就是一个等价关系。某一品牌的手机按型号来分类，也是一种等价关系。此外，把一堆凌乱的三角形按是否相似来分类，也是一种等价关系（两个三角形只要形状相似，就是等价的）。另一个例子是把整数按余数来分类，例如选某个给定的非零整数 k 做除数，把所有的整数按所得的余数来分成k个不同的类别，所得的余数也是一种等价关系（两个数n,m只要除以k之后所得余数相等，就称这两个数是等价的）。

相反地，把小面团擀成饺子皮这种操作得出的饺子皮的形状就不是一个等价关系，因为同样的面团擀出来的 饺子皮不一定是同样的形状。此外，大于（或小于）的关系，也不是等价关系，因为这种关系不具有对称性。两个数之间互素也不能构成等价关系，因为互素的数对没有传递性 （2和3互素，3与8互素，但是2与8不互素）。

当一个集合中每两个元素对都具有某种特定的等价关系的时候，在记法上记为a ~ b。这里~表示它们之间既定的等价关系（例如同余关系，或相似关系等）

所有的相等关系都是等价关系，而等价关系并不一定是相等关系。例如当x -->0时候，sin(x) 与 tan(x) 都是无穷小，在这个意义上它们互相等价，但并不相等。

把一个集合按等价关系进行分类之后，每个具体的类别组成一个等价类，是原来集合的一个子集。例如，汽车按颜色分类后，所有的红车组成红车类，蓝车组成蓝车类等，这两种颜色的车都是原有汽车的一个子集。如果用5作为除数，所有的整数按余数可分为0，1，2，3，4 的余数类，每个余数类都是整数集的子集。

在一个等价类之内，所有的元素是彼此等价的，因此，在记法上，选取该等价类内的任一个元素作为这个等价类的代表，用一个中括号来标识这个等价类。例如，[3]={k; k= 3 (mod 5)} 代表除5余3的等价类，当然，你也可以用[8]来表示该等价类，因为8除5的余数也是3。

等价类的一个重要性质是，基于一个等价关系来对集合 S 进行分类，每个等价类都是S的一个子集，如此得到的这些等价类子集是彼此独立的（彼此没有交集），而且集合S中的每个元素能且只能属于一个等价类子集。这是一种很科学的分类方法，经此方法分类之后的结果清晰明了，不会有模糊的地方。

用上面的方法分类之后，在数学上就称对这个集合进行了除法运算。所得到的子集称为这个等价关系~的商集，记为S/~.  。