朝霞满天

一 Bertrand的盒子悖论

 

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有三个外表一模一样的盒子，里面分别装有两枚硬币：其中一个两枚都是金币，一个两枚都是银币，剩下的则一金一银。现在随机选定一个盒子，并从里面随机抽取一个硬币，发现是金币，请问剩下的那枚也是金币的概率是多少？

这就是著名的Bertrand 盒子悖论(Bertrand's box paradox)，最先由法国数学家Joseph Louis François Bertrand (11 March 1822 – 5 April 1900) 提出来的。

严格说来，这个不能算真正的悖论，它和说谎者悖论与理发师悖论不同：那两个悖论都叫你左右为难，不知所措，而这个却不同，只能算是一个难题。

它真是一个难题吗？难在什么地方呢？它的神秘之处在于：如果你匆忙作答，很容易给出错误的答案，读者不妨先试试看。

这个悖论也有一个变种，叫卡片悖论：有三张卡片，一张两面皆黑，一张两面皆白，剩下的则一面白一面黑。你随机抽取一张卡片平放在桌面上，发现是黑的，请问另一面也是黑色的概率是多少？

 

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你的答案是什么呢？是1/2吗？如果是，恭喜你，你错了。

你的1/2绝对不是空穴来风，也许下面就是你的推理。

1. 每个盒子被选中的机会是平等的。

2.既然有一个是金币，所以不可能是两个银币的那个盒子。

3.这样只能是剩下的两个盒子之一：要么两个都是金币，要么一金一银。

4.两个盒子被选中的机会是一样的，答案自然是1/2。

这个推理没问题呀，1/2只对不错。

但它确确实实是错误的！

到底哪里出了纰漏？正确的答案又是什么？

 

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前三步的断言是正确的，纰漏就在第四步，那两个盒子被选中的概率是不一样的，这就涉及到了条件概率。

什么是条件概率？条件概率是指在已知某事件E发生后某事件X发生的概率。

用A，B，C分别表示两个都是金币的盒子，两个都是银币的盒子和一金一银的盒子。用E表示抽出的硬币是金色的，用F表示另一枚硬币也是金色的。用P(X)表示事件X发生的概率，用P(X|Y)表示已知事件Y已经发生的情况下X发生的条件概率。一开始，我们的确有P(A)=P(B)=P(C)=1/3，也即三个盒子被选中的概率各占三分之一。但是在已知E发生后，情况起了变化。比如，P(B｜E)=0，换句话说，在已知一个是金币的情况下，两个都是银币就不可能了。

我们先回顾一下条件概率公式：P(X|Y)=P(XY)/P(Y)。不难发现P(E)=1/2。P(EF)=P(A)=1/3。于是有P(F|E)=P(EF)/P(E)=2/3。这才是正确的答案。

 

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不用条件概率公式，能不能算出答案呢？

能！我们们用(X,Y)表示抽中的盒子是X，选出的硬币是Y。于是所有的可能结果即样本空间是：（A，金1）（A，金2），（Ｂ，银1），（Ｂ，银2），（C，金）和（C，银）。现在已知（A，金1）（A，金2）和 （C，金）之一已经发生，因此两个都是金币的概率就是2/3了。

 

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还有一个办法可以帮助我们找到正确答案。

我们随机选取一个盒子，里面的两个硬币相同（指同为金或同为银）的概率是多少？答案很显然是2/3。所以当我们已知一个硬币是金币的时候，另一个也是金币的概率就是2/3了。

另外还可以通过全概率公式导出答案：

P(A)=P(E)P(A|E)+P(~E)P(A|~E)=1/2 • P(A|E)=1/3，从而P(A|E)=2/3。