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你是怎样将车停到与该车平行的车位？ 一般的步骤是：1) 将车向前平移(T)；2) 将
车旋转一角度(R)；3) 将车向后平移(-T)；4) 将车反方向旋转一角度(-R)。也就是，
(T)(R)(-T)(-R)。从代数的角度来说，这是一系列群操作。并且该群是交换群(ABEL群
)，即对于任何群元素A，B，AB = BA。于是我们可以得到：(T)(R)(-T)(-R) = (T)(-T)(
R)(-R) = I。此处I是单位元素。也就是说，通过上述操作我们可以将车停到与该车
平行的车位。

车子的运动是刚体平面运动。刚体平面运动有三个自由度。但车子只有两个自由度
(一个移动和一个转动)。从力学的角度来说，车子是非完整运动系统。即它受到一
个非完整约束。而这个约束是不能完全积分。可以证明，车子作无穷小侧向移动是
不可能的。(我们可以设计车子有侧向移动，这样可以使平行停车很容易，但车子也
就变成不安全。)

再从代数的角度来说，我们可以通过求车子运动方程的矢量场的“李括号”来确定
车子“第三个自由度”的运动。李群是一种连续群(拓朴群)，粗浅地讲，一系列连
续的座标变换就构成李群。对李群元素求导数就得到矢量(速度)场。这个矢量场有
矢量加法和矢量乘法，它们构成李代数。李括号就是李代数中的矢量乘法，它和一
般矢量运算中的矢量叉乘有点相似。

在日常生活中我们会看到一些非完整运动系统。溜冰运动就是。又如将猫从空中背
朝下放下，猫会在空中转身然后四足着地(落猫运动)。猫的运动就是非完整运动。

应用上述原理，人们设计各种非完整运动器械。非完整运动器械可以节省作动器和
增加动态响应。比如少于6个作动器的机器人可以与6个作动器的机器人功能一样。
人造卫星的姿态调整也可以用少于3个作动器来完成。而空间站的机械手运动和控制
的研究与“落猫运动”的研究也有许多相似之处。