有趣的概率问题

三 Monty Hall 问题

 

1

 

Monty Hall是一个电视节目的主持人，他在美国的电视上主持一个名叫 Let’s Make a Deal 的电视节目，就是让我们做个交易吧。

主席台上有三扇门，主持人事先在每扇门后各放了一个礼品。其中一扇门后是一辆名贵跑车，而另外两扇后面各有一头漂亮的驴。主持人告诉大家：现在随机抽取一位幸运观众，由他随意选一扇门，门后的礼品就是他的奖品。很显然，名贵跑车是大家心中的期盼。

幸运观众甲选好一扇门牌，门尚未打开。主持人在剩下的两扇门中有意打开了一扇有驴的门，然后问幸运儿，愿不愿与剩下的门交换。这位观众挠挠脑袋，拿不定主意。

聪明的读者，假如您是那个幸运儿，是换，还是不换？

 

2

 

这的确是一个有意思的问题。有人给当时IQ最高的Marilyn vos Savant写信请教。Marilyn vos Savant是IQ在吉尼斯的记录保持者，其IQ高达228分。Marilyn vos Savant信中说，应该换，并且解释说：如不换，他得到跑车的概率是1/3，换以后得到跑车的概率将升至2/3。这封信发表在1991年Parade杂志的“Ask Marilyn”栏目中。

不料想，这样一封信，就象一阵风，吹皱了一池春水。或者更准确地说，是掀起了轩然大波。

当时有不少数学家和统计学家加入了声讨Marilyn vos Savant的行列。他们认为Marilyn vos Savant犯了很低级的错误，有人甚至要求Marilyn vos Savant为所犯的错误向公众道歉。而事实上，犯错的不是Marilyn vos Savant，而是他们自己。

为什么会这样呢？因为这有悖于大家的直觉。

直觉是什么呢？一般人的直觉是，既然跑车在剩下的门中，换与不换没有差别，每个门后有车的概率就都是1/2。

 

3

 

为什么直觉是1/2呢？很可能是大家忽略了主持人是有意打开了一扇有驴的门。如果主持不是有意，而是随意也就是随机打开一扇门，碰巧发现是头驴，这时换与不换没有差别，答案都是1/2。

我们用（X，Y，Z，T）表示：一号门后有X，二号门后有Y，三号门后有Z，主持人打开的是T号门。为叙述方便，我们不妨假设观众选中了一号门，于是我们的样本空间就是下面的六种情形，每一种情形的概率都是1/6。

1：（车，驴，驴，二）

2：（车，驴，驴，三）

3：（驴，车，驴，二）

4：（驴，车，驴，三）

5：（驴，驴，车，二）

6：（驴，驴，车，三）

假如主持人随机选了一扇门，比如二号，碰巧发现是头驴，这就意味着情形1或者情形5发生了，这时车在一号门与在三号门是机会均等的，换不换没差别。

 

4

 

假如主持人有意打开一扇有驴的门，就不可能出现前面的情形3和情形6，只有下面的四种情形了，其中情形1和2发生的概率分别是1/6，情形3和4发生的概率分别是1/3。
1：（车，驴，驴，二）
2：（车，驴，驴，三）
3：（驴，车，驴，三）
4：（驴，驴，车，二）
这时如主持人打开了二号门，就成了情形1或情形4了，这时由条件概率公式，可以得出车在三号门后的概率是2/3，在一号门后的概率是1/3。

 

5

 

还有一个比较明显的理由：车在一号门后的概率是1/3，而在另外两扇门后的概率是2/3。由于主持人有意把有驴的门打开了，另一扇门后有车的概率就是2/3了。  

这和Bertrand的盒子悖论是不是非常类似？算得上是异曲同工了。

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