网上搜来的答案，19.

27x0.74 = 19.98 = 19

手动填进去， 27x0.6 = 16.2 = 16

答案全文。
 
不考虑空间利用率，大球体积是小球体积的（R/r)^3=27倍，按照题主的意思，小球应该是不能压缩的，这个数值是小球个数的上限。

然后就是空间利用率的问题了。空间利用率越高，球与球之前的空隙越少越小，那么能放进去的小球就越多。几何上有个术语叫最密堆积或者也叫球堆积（Sphere Packing）。

效率最高的堆积方式是面心立方或者六方密堆积，了解一点简单的晶体结构的话就知道这是自然界中很多物质的基本结构，可以说是大自然天然的选择。用一点简单的几何知识就能计算出面心立方的空间利用率，在一个正方体中可以等效塞进去小球总共4个，可以简单的算出来利用率是pi/3sqr(2)，也就是常常看到74%这个数值的来源。六方的情况稍微复杂一些，但也很容易算出来结果是一样的。

然而，74%虽然看起来已经是最优的堆积方式，但数学上能否严格证明呢，稍微有点麻烦。这件事最早是德国的天文学家开普勒（没错就是那个著名的提出开普勒三定律的开普勒）在十七世纪初做了个猜想，猜想的内容就是面心立方和六方是最密的堆积。

这个猜想的突破性进展来源于高斯（是的，数学王子高斯），他在1831年证明了如果这些小球只能以规则的方式排列的话，开普勒猜想是正确的。听起来已经证明的很严格了，但是并没有严格的说明如果是不规则的排列方式，有没有可能突破这个上限。由于不规则的情况太难穷尽，大大增加了严格证明的难度。

高斯之后过了好几十年这件事没啥太大进展，到了1900年大数学家希尔伯特（就是量子力学里面希尔伯特空间那个希尔伯特）列了23个数学问题，这也是其中一题的一小问。

受限于非规则情况太多太多的难度，严格证明一直悬而未决，直到1953年，数学家托特证明了这件事情可以有限步骤的计算（当然计算量超级大）。这是一个非常重要的突破，因为这说明只要我们的算力足够强，可以通过暴力枚举的方式证明所有非规则的情况。

最近的进展也就是最近吧，美国数学家黑尔斯开始用计算机向这个古老的几何问题动手了，1996年开始宣布了自己已经差不多证明了，到了1998年宣布自己已经证明，后来兜兜转转几经波折，最后2014年正式宣布基于计算机的形式化证明完成。开普勒这个四百多年前的猜想终于算是尘埃落定了。

当然，考虑实际操作的话，手动去排列这些个小球，真正做到最密堆积还是挺困难的。随机的情况下利用效率大约是60%左右。