试答

好问题! 可能我之前的解答过于简略，也不严格，容易引起误解，让我详细说明一下1和2.

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问题1 因为f(x) 自变量是定义在文中所定义的函数链上（ai). 但是ai 是永远不小于3／4，所以x 在1／2与3／4 之间无取值 （扩展之后的函数在1／4到3／4)之间无定义）。不知这样理解对不对。

答：  首先，因为我们需要提供f(x)全体实数范围上的定义，通过对称性可只考虑x大于等于1/2范围，而[1/2,3/4]是属于这个范围的，我们肯定需要给出f(x)在其中的定义。 我理解你的困惑：g(x)=f(f(x)) ≥ 3/4  因此好像无法让[1/2,3/4]中的值放入函数链中。 其实这是因为我之前"函数链没有第一项"这一说法不准确。

回顾一下我们求证的思路，是把区间A=[1/2,∞)分解为无数个如下函数链的并集:
   ..., a[-n], a[-n+1], ... a[-1], a[0], a[1], ... a[n], ...     
         满足 a[i+2]=g(a[i])
而每个这样的链条又是又两个如下这样的等价类合成：
   ..., b[-n], b[-n+1], ...., b[-1], b[0], b[1], ... b[n], ...
   ..., c[-n], c[-n+1], ...., c[-1], c[0], c[1], ... c[n], ...  
   b[i+1] = g(b[i]) ,    c[i+1] = g(c[i])
我当时说函数链没有第一项，即向左向右都可以无限延申，这一论断的前提是诸如b[i]的等价类数列也可向左向右无限延申。注意对b[i]中任意一项t, 排在它前面的是g^(-1)(t)，排在它后面的一项是g(t). 因此我们之前的论述中默认了这一”事实”:
  对 任何 x∈A， 都有
      g(x)∈A ,         g^(-1)(x)∈A                 ----    (1)
        我们之前已证g(x)≥x ， 因此      g(x)∈A无疑
        不幸的是, 正如你提到的， g^(-1)(x) ∈A并不一定成立
        事实上, 把A分为如下三个集合的并集:
            B= [1/2,3/4)      C=[3/4,1)    D=(1, ∞)，
         那我们有如下结论：
    1)对任意x∈D, 有g^(-1)(x) ∈D
    2)对任意 x∈B,  g^(-1)(x) 不存在
    3)对任意 x∈C, 有数n使得g^(-n) (x) ∈B, 从而g^(-n-1) (x) 不存在
注意g^(-1) (x)=sqrt((x-3/4)) + 1/2,   因此2)显然
对于1), 当x>1时， g^(-1)(x)=sqrt(x-3/4)+  1/2>sqrt(1-3/4)+ 1/2=1   故g^(-1)(x) ∈D
对于3), 当3/4≤x< 1 时，令t=1-x, 则 0 g^(-1)(x)=sqrt(x-3/4)+  1/2=sqrt(1-t-3/4)+  1/2=sqrt(1/4-t)+  1/2
 x- g^(-1) (x)= 1-t- sqrt(1/4-t)+  1/2=sqrt(1/4-t+t^2 )-  sqrt(1/4-t)
          =t^2/(sqrt(1/4-t+t^2 )+  sqrt(1/4-t))
          > t^2/(2sqrt(1/4-t+t^2 ))
          =t^2/(1-2t)
          =δ
这里δ是一个正数。
又注意 g^(-m)(x)-g^(-m-1)(x)= (g^(-m-1)(x) - 1)^2 > (g^(-m) (x)- 1)^2 = g^(-m+1)(x) - g^(-m) (x)
因此当m>(x-3/4)/δ 时，就有g^(-m) (x)<3/4.  故肯定有n使得g^(-n) (x) ∈B

现在我们清楚了，当x∈D, 也就是x>1时，x在等价类可向左无限延申:
              ..., b[-n], b[-n+1], ...., b[-1], b[0], b[1], ... b[n], ...
当x∈B或x∈C时，x在等价类中不能向左延申或最多只能延申有限次, 即等价类有个左端点
                b[0], b[1], … b[n]…

好像后一种情况的出现推翻了之前的证明，其实不然，我们只需将证明过程修正一下：即把函数链分为两种：
I  左右无限延申：     ..., a[-n], a[-n+1], ... a[-1], a[0], a[1], ... a[n], ...        
II  有左端点，向右无限延申： a[0], a[1], ... a[n], ...     
         //////   在I 和 II 中     a[i+2]=g(a[i])
对于D中的等价类，我们可每取两个组成I型函数链，如之前证明过程中的那样：
 ..., b[-n],c[-n]，b[-n+1],c[-n+1], ..., b[-1],c[-1],b[0],c[0],b[1],c[1],...,b[n],c[n],...
而对B或C中的等价类，我们可每取两个组成II型函数链，
           b[0],c[0],b[1],c[1],...,b[n],c[n],...
两种情况得到的f(x)都满足f(f(x))=g(x)

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问题2．    为什么有必要证明函数链之间无交集呢？ 在我看来，定义f(ai)=a(i+1) 已经足够满足（1）式。是要排除f(x)是个常数的可能性吗？

答：函数链之间非交是必需的。如若不然，设有两个函数链
    …a[-n],…. a[-1], a[0], a[1], …. a[p-1], a[p], a[p+1], …
…b[-n]…. b[0], b[1], … b[q-1], b[q], b[q+1]…
有一个公共元素：  a[p] = b[q]
设  t = a[p] = b[q]
根据我们的定义，f(t)是要定义其在数据链中的下一个元素, 那我们就遇到矛盾了： f(t)不能既等于a[p+1]又等于b[q+1]