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来源：http://web.wenxuecity.com/BBSView.php?SubID=religion&MsgID=217882
* 关于哥德尔不完全定理 来源: zcxx 于 06-06-24 12:31:58
我觉得对于不完全定理，不宜加进去过多的所谓的意义。这个定理的适用范围很窄，通过这个定理，我们无非可以认识到，纯粹形式化的方式，是无法得到所有数学真理的，但是其他意义上的引申，尤其是在哲学、宗教甚至狭窄到形式化数学以外的范围，都是不谨慎的。
比如冷不丁朋友说的：“如果要用一句话来形容歌德尔不可判定原理的意义，那就是直觉超过理性，人类永远无法通过理性来完全了解这个世界。”（也不是只有这一句或者只有这一篇，我只是借此来说个事，总要有个具体例子:-)）在这句话里，“理性”就被简单化为形式化方法了。另外岔开说一句，“完全了解这个世界”这个任务，本身就包含了“理性”，因为“了解”这个词，就大大含有理性成分。
即使从形式化方法来讲，哥德尔不完全定理本身就是形式化方法的一大丰碑，尽管它指出了这方法的局限性。但科学中有许多定理和定律，就是告诉人类什么是做不到的，比如热力学三大定律。我们同样不能将它们看做是理性的局限。最后，事实上绝大部分科学都不用形式化方法，最多有几个非形式化的公理，比如狭义相对论。你不能说，这就不是理性的方法。
*哥德尔不完全定理是可以延伸到社会学、宗教等领域的 来源: 冷不丁 于 06-06-24 13:02:37
不仅仅是在数学领域。因为它是对公理系统完备性的否定，而人类的逻辑，也就是你说的理性，是从公理出发的。热力学三大定律、狭义相对论都是逻辑推演的结果。
*不是公理系统，是形式化系统 来源: zcxx 于 06-06-24 13:35:13
这两个东西有联系，但是也有区别，区别可以见王浩的《数理逻辑通俗讲座（讲义？）》前几章。你可以看看哥德尔定理的具体叙述，它的应用范围就是形式系统，而且是要包含了Peano系统的系统，而不是任何一个公理系统，普通的数学科普文章总是不分清这两者的区别，虽然对于了解一下这个定理，读读这些文章也足够了，但是如果要“应用”了，光看这些东西就不够了。
不能看见一个“逻辑”就硬搬上去套，如果这样的话，哥德尔还有一个著名的关于一阶逻辑的完全性定理呢，是不是也可以不加限制地引申，说逻辑完全，理性万能了
* 公理系统的符号推衍，演化为形式系统，这个推衍过程就是逻辑 来源: 冷不丁 于 06-06-24 13:58:10
哥德尔一阶逻辑的完全性定理，说的是第一步的形式化推演，当然不能引申，因为任何一个定理的推演不是一步就完成的。
* 你对“一阶逻辑”的理解也不正确 来源: zcxx 于 06-06-24 14:16:17
不是什么“一步就完成”。但这个概念比较难以简单地说清，我就不多说了。事实上，比方说狭义相对论的论证过程，就不是什么“符号推衍”，你也举不出例子来，在哲学、宗教方面有谁在拿“符号推衍”来推出他们的理论来。真的按照遵循形式系统的推理方法的，连数学学科中，都找不出几门来:-)这就是为什么我说哥德尔定理不能够这样胡乱地引申到其他领域中去的原因，因为它们根本不符合定理的条件。
另外，就算是严格的形式系统，如果不符合“包含Peano系统”这个条件，那就还是有可能是完备的，比如欧氏几何的Hilbert系统，比如实数和复数的形式化系统，都是完备的。
*“宗教方面有谁在拿‘符号推衍’来推出他们的理论”来源: 冷不丁 于 06-06-24 14:38:22
看看这个：Ontological Arguments http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/ontological-arguments/ 只能遗憾地说，你没有完全理解哥德尔定理，虽然你拿出很多的术语，但你的理解有问题。你说的“狭义相对论”、欧氏几何的Hilbert系统，与我们的讨论根本无关。
*你完全搞错了 来源: zcxx 于 06-06-24 14:56:06
Ontological Arguments之于神学，就如同进化论或创造论之于神学，都是论据，而非神学理论本身。我说的是“宗教方面有谁在拿‘符号推衍’来推出他们的理论”，结果你说的是神学方面有人拿“符号推衍”作为一种论据，这就完全错了，这跟说“有人用进化论来推出神学”一样好笑。Ontological Arguments和进化论一样，如果说对神学来说有意义，那只是作为一种论据，而不是作为其本身研究的方法。而我问的是：你看见有谁先把他的神学公理化形式化了，然后再一步步推出他的结论？只有在这种情况下，你才可以把哥德尔定理应用到这个神学理论上去，Ontological Arguments则完全不是这么回事。
至于我说的“狭义相对论”、欧氏几何的Hilbert系统，无非是向你说明，哥德尔定理的成立，是需要非常严格的先决条件的，有一丝不符合，就不能应用。这些和数学理论这么靠近的系统都如此，你怎么就可以很不谨慎地说“可以延伸到社会学、宗教等领域的”呢？我说的这些东西，和我们的讨论是有非常密切的关系的。
*算了，和你这种人罗嗦纯属浪费时间 来源: 冷不丁 于 06-06-24 15:13:39
我已经完全看明白，你根本就不知道哥德尔定理说的是什么。
再对你说一次：狭义相对论”、欧氏几何的Hilbert系统与哥德尔定理的成立毫无关系，就好像风马牛是不相及的。你先搞清楚什么是公理，然后再来谈数理逻辑。我没义务科普，也不想卖弄我的数学知识。
其实，从你说我对“哥德尔一阶逻辑的完全性定理”的解释不正确开始，我已经知道你是个业余数学爱好者。既然你说这个概念比较难以简单地说清，又认为我说的不对，那么，拿出你的理解，用最简单的、一个高中生能够完全读懂的比喻来说说。推论的第一步总是完备的——这就是“一阶逻辑的完全性定理”的本质，但是，任何一个定理的推演不是一步就完成的。
最后，不懂不要装懂。
*呵呵，不要恼羞成怒。我这种人嘛，在说正事的时候是道理摆证据的 来源: zcxx 于 06-06-24 15:29:43
我说过“‘狭义相对论’、欧氏几何的Hilbert系统与哥德尔定理的成立有关系”吗？从来没有，也用不着你来提醒，更用不着“再说一次”，事实是，这句话你是第一次说，如果是已经说过了，我早就会对你说前面这话。
而我说的是（大家也可以看我的首帖）：这个定理的适用范围很窄，通过这个定理，我们无非可以认识到，纯粹形式化的方式，是无法得到所有数学真理的，但是其他意义上的引申，尤其是在哲学、宗教甚至狭窄到形式化数学以外的范围，都是不谨慎的。
哥德尔定理的应用是有其严格的前提条件的，只要前提条件有一点不符合，它就不能被应用，我举狭义相对论、欧氏几何等几个例子，就是为了具体说明这个道理，就是摆证据。而冷不丁你呢？前面说“哥德尔不完全定理是可以延伸到社会学、宗教等领域的”，结果我叫你举哪怕一个在这方面，适合哥德尔定理使用条件的理论，你都举不出来，拿个Ontological Arguments来凑数，这实在比不上前面大有要把哥德尔定理囊括“理性”范围的气势嘛。
我也许是个数学爱好者，也许连爱好者都不是，这才是和我们讨论没有什么关系的事情，我就算贴出数理逻辑博士文凭，讲不出道理，也不能表示我正确了。相反，讲出道理，摆出证据，指出对方哪里错了，才是正确的辩论方式，对不对？
*哦，似乎不用改。既然冷不丁朋友要求，我顺便讲两句一阶逻辑 来源: zcxx 于 06-06-24 15:49:07
*Ontological Arguments是凑数吗？那就是哥德尔搞出来的东西 来源: 冷不丁 于 06-06-24 15:41:39
算了，不要拿术语来唬人，不懂就是不懂，没什么不好意思的。我有什么好恼羞成怒的？对一个三岁小孩说121+17=138，小孩当然不懂，我也当然不至于恼怒。
你如果有“数理逻辑博士文凭”就不会讲不出道理，不会拿术语来堆砌。另外，如果你真有“数理逻辑博士文凭”，嘿嘿，那我就是上帝。
最后回你一贴
*哥德尔搞出来的东西，所以？可哥德尔对相对论也有贡献啊 来源: zcxx 于 06-06-24 15:54:42
按你的逻辑，你怎么说相对论和我们讨论的东西无关呢？呵呵，歪理不是这么说的。
我从来没有说我有数理逻辑博士文凭。虽然我对我的数学水平有充分信心，但是我不会只因为某人有或者没有某个文凭而评价他的水平。我的评价，从来都是基于摆出的证据和逻辑的，就算是上帝又如何？:-)
*回复：不是公理系统，是形式化系统 来源: 测试111 于 06-06-24 18:25:10
在这点上我不得不同意冷不丁。诚然，形式系统不同与用人类普通语言构筑的公里系统。但形式体系无非也是人们逻辑思维规律的一种影射。说穿了，数学本身就是一整套形式体系(这一点，学抽象代数的更有体会)。严格的说，数学定理的表述必须能够用一整套符号以及他们之间的形式逻辑关系来表述。但这并不等於说，数学定理和我们所处的物理世界没有任何关系。事实上，把数学定理、数学公式用在物理学就是把原先一套纯粹的符号体系进一步同物理世界的各种物理量对应起来，也就是说赋予每一个符号于具体的物理意而已。之所以能够这样做，就是应为数学定理作为一套纯粹的形式体系其中的逻辑关系，无非反映的正是某种客观世界的内在逻辑规律而已。否则，数学本身就失去了任何实际意义，而仅仅是一套符号游戏而已。
*哥德尔不完全定理不是可任意扩大外延的 来源: iamcaibird 于 06-06-24 16:23:19
我的本行不是数学，只是在大学时由于专业的原因接触了哥德尔定理。数学是在严格条件下成立的，其中有假想的成分。看一看欧几里得绝对平面空间是否是我们现实的空间就明白了。由于我们不能肯定我们的现实是否是完全遵守形式逻辑的，所以我不是同意把哥德尔定理搞得放之四海而皆准。之所以用哥定理来论证基督教，之不过是以子之矛攻子之盾。
在科学中，形式逻辑并不是新发现的主要工具。假想-〉理论-〉验证才是。形式逻辑只是肯定理论没有矛盾的方法。故我认为其他科学学科不是完全的公理系统，更不用所哲学，宗教，等其他。
*同意你的看法 来源: zcxx 于 06-06-24 16:47:15
我的本行也不是数学，不过哥德尔定理的证明曾化过一个暑假啃过，没看证明前，几乎不信居然有这样的定理，而看过证明后，才知道自己对定理本身和有关的概念有很深的误解，而这误解，许多是因看了一些科普文章所致。
以子之矛攻子之盾是很有效的办法，不过不能自己也当了真:-)关于你说的“形式逻辑只是肯定理论没有矛盾的方法”，克莱茵在《数学，确定性的消失》中有一个比喻，说形式化不过是数学的消毒剂（大意），我曾很反感这种说法，但是越对形式化方法有了解，我越觉得这种说法有道理。
* 关于哥德尔不完全定理 来源: zcxx 于 06-06-24 12:31:58
我觉得对于不完全定理，不宜加进去过多的所谓的意义。这个定理的适用范围很窄，通过这个定理，我们无非可以认识到，纯粹形式化的方式，是无法得到所有数学真理的，但是其他意义上的引申，尤其是在哲学、宗教甚至狭窄到形式化数学以外的范围，都是不谨慎的。
比如冷不丁朋友说的：“如果要用一句话来形容歌德尔不可判定原理的意义，那就是直觉超过理性，人类永远无法通过理性来完全了解这个世界。”（也不是只有这一句或者只有这一篇，我只是借此来说个事，总要有个具体例子:-)）在这句话里，“理性”就被简单化为形式化方法了。另外岔开说一句，“完全了解这个世界”这个任务，本身就包含了“理性”，因为“了解”这个词，就大大含有理性成分。
即使从形式化方法来讲，哥德尔不完全定理本身就是形式化方法的一大丰碑，尽管它指出了这方法的局限性。但科学中有许多定理和定律，就是告诉人类什么是做不到的，比如热力学三大定律。我们同样不能将它们看做是理性的局限。最后，事实上绝大部分科学都不用形式化方法，最多有几个非形式化的公理，比如狭义相对论。你不能说，这就不是理性的方法。
*哥德尔不完全定理是可以延伸到社会学、宗教等领域的 来源: 冷不丁 于 06-06-24 13:02:37
不仅仅是在数学领域。因为它是对公理系统完备性的否定，而人类的逻辑，也就是你说的理性，是从公理出发的。热力学三大定律、狭义相对论都是逻辑推演的结果。
*不是公理系统，是形式化系统 来源: zcxx 于 06-06-24 13:35:13
这两个东西有联系，但是也有区别，区别可以见王浩的《数理逻辑通俗讲座（讲义？）》前几章。你可以看看哥德尔定理的具体叙述，它的应用范围就是形式系统，而且是要包含了Peano系统的系统，而不是任何一个公理系统，普通的数学科普文章总是不分清这两者的区别，虽然对于了解一下这个定理，读读这些文章也足够了，但是如果要“应用”了，光看这些东西就不够了。
不能看见一个“逻辑”就硬搬上去套，如果这样的话，哥德尔还有一个著名的关于一阶逻辑的完全性定理呢，是不是也可以不加限制地引申，说逻辑完全，理性万能了
* 公理系统的符号推衍，演化为形式系统，这个推衍过程就是逻辑 来源: 冷不丁 于 06-06-24 13:58:10
哥德尔一阶逻辑的完全性定理，说的是第一步的形式化推演，当然不能引申，因为任何一个定理的推演不是一步就完成的。
* 你对“一阶逻辑”的理解也不正确 来源: zcxx 于 06-06-24 14:16:17
不是什么“一步就完成”。但这个概念比较难以简单地说清，我就不多说了。事实上，比方说狭义相对论的论证过程，就不是什么“符号推衍”，你也举不出例子来，在哲学、宗教方面有谁在拿“符号推衍”来推出他们的理论来。真的按照遵循形式系统的推理方法的，连数学学科中，都找不出几门来:-)这就是为什么我说哥德尔定理不能够这样胡乱地引申到其他领域中去的原因，因为它们根本不符合定理的条件。
另外，就算是严格的形式系统，如果不符合“包含Peano系统”这个条件，那就还是有可能是完备的，比如欧氏几何的Hilbert系统，比如实数和复数的形式化系统，都是完备的。
*“宗教方面有谁在拿‘符号推衍’来推出他们的理论”来源: 冷不丁 于 06-06-24 14:38:22
看看这个：Ontological Arguments http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/ontological-arguments/ 只能遗憾地说，你没有完全理解哥德尔定理，虽然你拿出很多的术语，但你的理解有问题。你说的“狭义相对论”、欧氏几何的Hilbert系统，与我们的讨论根本无关。
*你完全搞错了 来源: zcxx 于 06-06-24 14:56:06
Ontological Arguments之于神学，就如同进化论或创造论之于神学，都是论据，而非神学理论本身。我说的是“宗教方面有谁在拿‘符号推衍’来推出他们的理论”，结果你说的是神学方面有人拿“符号推衍”作为一种论据，这就完全错了，这跟说“有人用进化论来推出神学”一样好笑。Ontological Arguments和进化论一样，如果说对神学来说有意义，那只是作为一种论据，而不是作为其本身研究的方法。而我问的是：你看见有谁先把他的神学公理化形式化了，然后再一步步推出他的结论？只有在这种情况下，你才可以把哥德尔定理应用到这个神学理论上去，Ontological Arguments则完全不是这么回事。
至于我说的“狭义相对论”、欧氏几何的Hilbert系统，无非是向你说明，哥德尔定理的成立，是需要非常严格的先决条件的，有一丝不符合，就不能应用。这些和数学理论这么靠近的系统都如此，你怎么就可以很不谨慎地说“可以延伸到社会学、宗教等领域的”呢？我说的这些东西，和我们的讨论是有非常密切的关系的。
*算了，和你这种人罗嗦纯属浪费时间 来源: 冷不丁 于 06-06-24 15:13:39
我已经完全看明白，你根本就不知道哥德尔定理说的是什么。
再对你说一次：狭义相对论”、欧氏几何的Hilbert系统与哥德尔定理的成立毫无关系，就好像风马牛是不相及的。你先搞清楚什么是公理，然后再来谈数理逻辑。我没义务科普，也不想卖弄我的数学知识。
其实，从你说我对“哥德尔一阶逻辑的完全性定理”的解释不正确开始，我已经知道你是个业余数学爱好者。既然你说这个概念比较难以简单地说清，又认为我说的不对，那么，拿出你的理解，用最简单的、一个高中生能够完全读懂的比喻来说说。推论的第一步总是完备的——这就是“一阶逻辑的完全性定理”的本质，但是，任何一个定理的推演不是一步就完成的。
最后，不懂不要装懂。
*呵呵，不要恼羞成怒。我这种人嘛，在说正事的时候是道理摆证据的 来源: zcxx 于 06-06-24 15:29:43
我说过“‘狭义相对论’、欧氏几何的Hilbert系统与哥德尔定理的成立有关系”吗？从来没有，也用不着你来提醒，更用不着“再说一次”，事实是，这句话你是第一次说，如果是已经说过了，我早就会对你说前面这话。
而我说的是（大家也可以看我的首帖）：这个定理的适用范围很窄，通过这个定理，我们无非可以认识到，纯粹形式化的方式，是无法得到所有数学真理的，但是其他意义上的引申，尤其是在哲学、宗教甚至狭窄到形式化数学以外的范围，都是不谨慎的。
哥德尔定理的应用是有其严格的前提条件的，只要前提条件有一点不符合，它就不能被应用，我举狭义相对论、欧氏几何等几个例子，就是为了具体说明这个道理，就是摆证据。而冷不丁你呢？前面说“哥德尔不完全定理是可以延伸到社会学、宗教等领域的”，结果我叫你举哪怕一个在这方面，适合哥德尔定理使用条件的理论，你都举不出来，拿个Ontological Arguments来凑数，这实在比不上前面大有要把哥德尔定理囊括“理性”范围的气势嘛。
我也许是个数学爱好者，也许连爱好者都不是，这才是和我们讨论没有什么关系的事情，我就算贴出数理逻辑博士文凭，讲不出道理，也不能表示我正确了。相反，讲出道理，摆出证据，指出对方哪里错了，才是正确的辩论方式，对不对？
*哦，似乎不用改。既然冷不丁朋友要求，我顺便讲两句一阶逻辑 来源: zcxx 于 06-06-24 15:49:07
| 但是我说过这个问题不是很容易讲清，所以只能简单提提，要应用的话，就不能直接拿我的话去用了，就好像光看关于哥德尔定理的科普文章，就要把这定理用到别的领域去一样不谨慎了。 我们中学学的命题逻辑，可以被看作是零阶的。一阶逻辑是命题逻辑的扩充，加入了表示论域对象的性质的词，叫谓词。比如“云是白的”，在命题逻辑里你只能把它作为原子命题，但是一阶逻辑里我们可以把“……是白的”作为一个性质，表示成P，那么P(x)就代表“x是白的”。我们还可以引入量词，就是倒写的A和E，表示“任意的”，和“至少存在一个”，这样的逻辑系统就是一阶的，但是在一阶系统中我们不能把量词用在谓词上，表达比方说“对所有的性质，……”这样的命题，如果要表示这样的命题，就要用二阶以上的命题了。 但是一阶逻辑已经足够强大，来表示几乎所有的数学理论了。哥德尔不完全定理就是一个对于一阶系统的定理。 |  |
*Ontological Arguments是凑数吗？那就是哥德尔搞出来的东西 来源: 冷不丁 于 06-06-24 15:41:39
算了，不要拿术语来唬人，不懂就是不懂，没什么不好意思的。我有什么好恼羞成怒的？对一个三岁小孩说121+17=138，小孩当然不懂，我也当然不至于恼怒。
你如果有“数理逻辑博士文凭”就不会讲不出道理，不会拿术语来堆砌。另外，如果你真有“数理逻辑博士文凭”，嘿嘿，那我就是上帝。
最后回你一贴
*哥德尔搞出来的东西，所以？可哥德尔对相对论也有贡献啊 来源: zcxx 于 06-06-24 15:54:42
按你的逻辑，你怎么说相对论和我们讨论的东西无关呢？呵呵，歪理不是这么说的。
我从来没有说我有数理逻辑博士文凭。虽然我对我的数学水平有充分信心，但是我不会只因为某人有或者没有某个文凭而评价他的水平。我的评价，从来都是基于摆出的证据和逻辑的，就算是上帝又如何？:-)
*回复：不是公理系统，是形式化系统 来源: 测试111 于 06-06-24 18:25:10
在这点上我不得不同意冷不丁。诚然，形式系统不同与用人类普通语言构筑的公里系统。但形式体系无非也是人们逻辑思维规律的一种影射。说穿了，数学本身就是一整套形式体系(这一点，学抽象代数的更有体会)。严格的说，数学定理的表述必须能够用一整套符号以及他们之间的形式逻辑关系来表述。但这并不等於说，数学定理和我们所处的物理世界没有任何关系。事实上，把数学定理、数学公式用在物理学就是把原先一套纯粹的符号体系进一步同物理世界的各种物理量对应起来，也就是说赋予每一个符号于具体的物理意而已。之所以能够这样做，就是应为数学定理作为一套纯粹的形式体系其中的逻辑关系，无非反映的正是某种客观世界的内在逻辑规律而已。否则，数学本身就失去了任何实际意义，而仅仅是一套符号游戏而已。
*哥德尔不完全定理不是可任意扩大外延的 来源: iamcaibird 于 06-06-24 16:23:19
我的本行不是数学，只是在大学时由于专业的原因接触了哥德尔定理。数学是在严格条件下成立的，其中有假想的成分。看一看欧几里得绝对平面空间是否是我们现实的空间就明白了。由于我们不能肯定我们的现实是否是完全遵守形式逻辑的，所以我不是同意把哥德尔定理搞得放之四海而皆准。之所以用哥定理来论证基督教，之不过是以子之矛攻子之盾。
在科学中，形式逻辑并不是新发现的主要工具。假想-〉理论-〉验证才是。形式逻辑只是肯定理论没有矛盾的方法。故我认为其他科学学科不是完全的公理系统，更不用所哲学，宗教，等其他。
*同意你的看法 来源: zcxx 于 06-06-24 16:47:15
我的本行也不是数学，不过哥德尔定理的证明曾化过一个暑假啃过，没看证明前，几乎不信居然有这样的定理，而看过证明后，才知道自己对定理本身和有关的概念有很深的误解，而这误解，许多是因看了一些科普文章所致。
以子之矛攻子之盾是很有效的办法，不过不能自己也当了真:-)关于你说的“形式逻辑只是肯定理论没有矛盾的方法”，克莱茵在《数学，确定性的消失》中有一个比喻，说形式化不过是数学的消毒剂（大意），我曾很反感这种说法，但是越对形式化方法有了解，我越觉得这种说法有道理。
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