春后雨前的博客
兰若生春夏，芊蔚何青青。秋渔荫密树，夜博然明灯。
“维也纳学派”是20世纪二、三十年代活跃在欧洲中心城市维也纳的一个重要学术群体，由多位优秀的哲学家、物理学家、数学家、逻辑学家和心理学家等具有不同学术背景的学者组成。他们在维也纳大学定期会面，对于科学哲学的本质及科学方法论等问题进行深入探讨和研究。维也纳学派的逻辑实证主义（logical positivism）哲学立场，对于 20 世纪哲学，尤其是科学哲学和分析哲学，产生了巨大影响，留下了丰富的精神遗产。本文简要介绍维也纳学派中几位著名数学家，如汉斯·哈恩、卡尔·门格尔、库尔特·哥德尔等人的生平、成就和传承。
维也纳学派群像
“学派”一词，是指具有特色的学术传统的群体。“学派”的英文school源于希腊文σχολε?ο，其本义为“踌躇、阻止、抑制”，引申义为“空闲、闲暇”。这些“闲人”们或吟诗作画、弹琴奏乐、健身打猎，或探讨自然科学和哲学问题，尤以讨论学问和辩论真理为时尚。古希腊的“学问”便由这种有利于身心健康的“休闲”活动而来，“闲暇”成为古希腊人创造思想、学术和文化的基本前提条件，进一步派生出现代人所称的“学校”、“学院”以至“学派”。自古以来东西方学派大致可分为三种形式：“师承性学派”、“地域性学派”和“问题性学派”，既有不同又互有联系。
19世纪末至二战前是维也纳文化活动的黄金时期，在哲学、心理学、艺术和音乐领域里均出现了重大革新，成为欧洲整体启蒙运动的重要组成部分。美国历史学家卡尔·休斯克（Carl Schorske）这样写道： “伟大的维也纳智识创新者在音乐和哲学、经济和建筑、自然还有精神分析方面，或多或少地刻意斩断了他们同某种历史观的维系”，维也纳学派就是在当时这种创造性的文化氛围中应运而生的。学派成员密切关注物理学和形式科学的最新进展，强调在哲学研究中使用现代数理逻辑学的新方法，从而建立一种 “科学世界观”。与通常使用的school不同，维也纳学派的德文原文是Der Wiener Kreis，英文是The Vienna Circle，因此中文译成 “维也纳学术圈”似乎更准确。
维也纳学派的精神教父是19世纪的实验物理学家和哲学家恩斯特·马赫（Ernst Mach，1838-1916），他大力强调经验主义和实证主义在科学研究中的重要性，另一位先驱者是热力学和统计物理学的奠基人之一路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann，1844-1906）。1924年，维也纳大学感应科学哲学教授莫里兹·石里克（Moritz Schlick，1882-1936）等人创立了维也纳学派，来自各个领域的学者和青年学生每周四在玻尔兹曼街（Boltzmanngasse）5号的数学研究所聚会，从那时算起已近百年。石里克与马赫一样，都是从物理学转向科学哲学研究，他在柏林大学学习期间，曾师从量子力学的创始人马克斯·普朗克（Max Planck，1858-1947）。
维也纳学派产生的主要原因是对于德国唯心主义及其形而上学理论的不满，他们将知识分为两大类，即先天分析的数学和逻辑与后天综合的经验科学。通过出版期刊丛书、召开学术会议、与各国同行交流，逐渐发展成为声势浩大的逻辑实证主义运动。维也纳学派是一个松散的多元化组织，学派成员的观点甚至某些核心立场并不完全一致，而这也许正是其生命力所在。学派领袖人物石里克、奥图·纽拉特（Otto Neurath，1882-1945）、鲁道夫·卡尔纳普（Rudolf Carnap，1891-1970）三足鼎立，20世纪最伟大的哲学家之二——路德维希·维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889-1951）及卡尔·波普尔（Karl Popper，1902-1994）与维也纳学派也多有交流和互动。
纽拉特与卡尔纳普都是学数学和物理出身，1906年纽拉特在柏林大学政治学与统计学系获得博士学位。纽拉特创立了图形统计社会学，具有独特的哲学观点和体系，后因纳粹被迫逃离到英国。1921年卡尔纳普在柏林大学获得博士学位，他在博士论文《空间、论科学哲学》中，以正统的康德风格探讨了时空理论。1926年卡尔纳普入职维也纳大学，1935年移居美国，是逻辑实证主义的代表人物。他的代表作《世界的逻辑结构》（1928）和《语言的逻辑句法》（1934）探讨了在逻辑和数学规则下构建语言，指出哲学就是语言的逻辑分析。纽拉特和卡尔纳普一起提出了物理主义或统一科学的主张，试图以此消除“精神科学”和自然科学的对立性。
维也纳学派的历史和发展呈现出不同阶段：1907-1912年间的史前阶段，1918-1923年间的成长时期，1924-1928年间的非公开阶段——“石里克学术圈”（The Schlick Circle），1928-1934年间的公开阶段——以1928年马赫协会成立和1929年的公开宣言《科学的世界概念：维也纳学派》为标志，以及1934-1938年间的解体、移民、国际化时期。随着1930年代中期法西斯主义在欧洲兴起，维也纳学派中的犹太裔学者受到迫害。1934年学派重要成员哈恩病逝，1936年石里克遇刺身亡，维也纳学派最终停止活动并解散，多位重要成员移民北美或英伦。
维也纳学派唯一的中国成员洪谦（1909—1992）少年时代被梁启超收为关门弟子，前往日本学习阳明哲学。1927年，洪谦留学德国，在柏林大学学习天文物理。后来他受到石里克赏识，来到维也纳，石里克成为影响他一生的导师。从1930年开始，洪谦应邀参加维也纳学派的周四讨论会，亲历了它的兴衰。洪谦于1934年完成了博士论文《现代物理学中的因果性问题》，他在论文中引用当时量子物理学最前沿的成果，反驳了传统哲学中对于因果观念的看法。1937年回国后，洪谦努力向中国哲学界原汁原味地介绍维也纳学派的科学观和哲学观，撰写了著作《维也纳学派哲学》。
哈恩和三人小组
汉斯·哈恩（Hans Hahn，1879–1934，左图）是维也纳学派中主要数学家和逻辑实证主义哲学家之一。哈恩出生于维也纳，1898年进入维也纳大学学习法律，第二年转学数学，先后在斯特拉斯堡、慕尼黑和哥廷根学习。哈恩在古斯塔夫·冯·埃舍里奇（Gustav von Escherich）指导下研究经典变分法，于1902年获得维也纳大学数学博士学位，他的博士论文题目为《论简单积分的二次变分理论》。1905年，哈恩入职维也纳大学，后来在奥地利帝国东北部的切尔诺维茨大学接受了第一个教授职位、一战应征入伍受重伤，随后又接受了波恩大学的聘书，1921年回到维也纳担任教授。右图为哈恩的论文集《经验论、逻辑学和数学》封面。
哈恩在许多数学领域均有重要建树，是集合论和泛函分析的先驱者之一。他发表过一篇关于非阿基米德系统的基础论文，并且很早就认识到了一类特殊的拓扑向量空间——Fréchet空间的重要性，他还引入了Hahn序列空间的概念。哈恩证明了一个非空 Hausdorff拓扑空间成为单位区间连续图像的充分必要条件是该空间紧致、连通、局部连通并具有可数基，这类空间有时称为 “皮亚诺（Peano ）空间”，这一充分必要条件现在通常称为Hahn-Mazurkiewicz 定理。在一篇关于曲线理论的文章中，哈恩基于Veblen几何公理，为简单闭合多边形的Jordan定理提供了严格证明。
在泛函分析领域，哈恩发展了魏尔斯特拉斯关于变分法的思想，修改了Ernst Hellinger 的二次型不变量理论，以及研究了Banach 空间的对偶性。令人印象最深的是1920年代后期，哈恩和波兰数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）独立证明了以二人名字命名的 Hahn-Banach 定理。这一定理是泛函分析的核心工具之一，它允许将定义在某个赋范向量空间的子空间上的连续线性泛函扩展到整个空间，表明在每个赋范向量空间上都定义了 “足够多的”连续线性泛函。哈恩还独立证明了泛函分析中的另一个重要定理：关于算子一致有界性的Banach-Steinhaus定理，或称为 “共鸣定理”。
哈恩的研究领域还包括抽象测度理论、序理论、实函数、傅里叶分析、广义调和分析等，以他的名字命名的定理还有：测度论中的Hahn分解定理、Hahn-Kolmogorov定理、Vitali-Hahn-Sak定理，以及关于阿贝尔群有序结构的Hahn嵌入定理等。哈恩撰写了两部关于实函数理论的专著，对于该理论的进一步发展产生了重要影响。根据数学家谱网站MGP记载，哈恩一共指导了13篇博士论文。除了广泛深入的数学兴趣和研究经历之外，哈恩还是一位数学哲学家。他最喜欢的作家是大卫·休谟（David Hume），非常钦佩莱布尼茨，在近现代哲学家中偏爱马赫。
1907年左右，哈恩与政治经济学家奥图·纽拉特及理论物理学家菲利普·弗兰克（Philipp Frank，1884–1966）在维也纳成立了一个三人小组，他们在维也纳著名的中央咖啡馆不定期聚会，讨论哲学和科学问题，特别是奥地利和意大利的科学论及法国的约定论思想，纽拉特的观点在其中起到了重要作用。哈恩的妹妹奥尔加·哈恩-纽拉特（Olga Hahn-Neurath）1902 年进入维也纳大学攻读数学和哲学，主要的数学兴趣是布尔代数。她22岁时双目失明，1911 年成为维也纳大学哲学专业的第三位女性毕业生，获得博士学位，第二年与纽拉特结婚。弗兰克是物理学和哲学比较研究的代表性人物，于1922年接任爱因斯坦在布拉格德意志大学的教授职位，因此小组活动不得不中断。图为维也纳中央咖啡馆，右下方是经常光顾这家咖啡馆的奥地利作家Peter Altenberg的雕像。
1921年，哈恩出任维也纳大学数学系系主任，看到了实现小组原有计划的机会。在他的支持下，石里克于1922年被任命为维也纳大学归纳科学哲学系主任，维也纳学派应运而生并不断扩大。 回到维也纳后，哈恩开始对符号逻辑进行深入研究，并着眼于相关的哲学问题，一共撰写了八篇关于经验论、逻辑学和数学的文章，被后人结集出版。他开设了布尔代数课程，主持了关于维特根斯坦的《逻辑哲学论》以及怀特黑德（Alfred North Whitehead）和罗素（Bertrand Russell）的《数学原理》研讨会。哈恩认为罗素很可能会被视为那个时代最重要的哲学家，这在很少有中欧哲学家了解罗素著作的时期是非同寻常的。
1929年，哈恩与卡尔纳普、纽拉特一起，撰写了维也纳学派的公开宣言，叙述了学派的历史、成员、倾向和目标，并将其题献给石里克。宣言中说，维也纳学派有两个基本原则：一是认为知识只能来自经验；其次，科学的世界概念的标志是使用一个特定的方法，即逻辑分析法。然而，哈恩的名字常常不出现在宣言撰写者的名单中。哈恩逝世后，弗兰克在讣告中写道：哈恩 “可视为维也纳学派的真正创始人。” “在某种意义上，他始终是该组织的中心。” “没人知道他如何以如此简单而透彻的方式、合乎逻辑和暗示性的形式呈现这些主要思想。”
哈恩因使用其数学和哲学著作来研究精神现象而闻名，他有一个题为《直觉的危机》的著名演讲，他指出：“由于直觉证明为真的命题被逻辑反复证明是假的，所以数学家们越来越怀疑直觉的有效性。……因此，出现了从数学推理中排除直觉的需求，以及对数学的完全形式化的需求。”“直觉并非纯粹先天的知识手段，而是植根于心理惰性的习惯力量。”哈恩晚年的部分业余时间用于超心理学研究，并举办了一些公开讲座。在政治上哈恩是一位坚定的社会主义者，积极参与社会民主主义运动。他不遗余力地为公众服务，尤其是投身于成人教育，为有潜力的贫困学生尽其所能。
门格尔和维也纳研讨会
哈恩的两名学生后来也成为维也纳学派的重要成员，其中之一是卡尔·门格尔（Karl Menger，1902-1985，左图）。他的父亲老卡尔·门格尔（Carl Menger）是奥地利经济学派的创始人，他的母亲赫敏·安德曼（Hermine Andermann）是一位犹太裔作家和音乐家。门格尔于1920年进入维也纳大学学习物理学，第二年参加了哈恩开设的关于曲线概念的新课程，十分着迷。在哈恩的鼓励下，门格尔开始对相关问题进行研究。他在患肺病疗养期间，独立给出维数的定义并获得重要结果，于1924年以《关于点集的维数》的论文获得数学博士学位。博士毕业后，门格尔在阿姆斯特丹大学度过两年，担任荷兰数学家和哲学家鲁伊兹·布劳威尔（Luitzen Brouwer）的助手。
门格尔的主要研究领域是维数理论、逻辑、几何、图论和博弈论，现代点集几何理论的发展与维数概念密切相关。门格尔在研究拓扑维数概念时，构造了后来以他的名字命名的 “门格尔海绵”（Menger sponge，右图），又称 “门格尔立方体”。门格尔海绵是拓扑维数为1的通用曲线，即任何一维曲线都与门格尔海绵的一个子集同胚；它是一维的康托尔集和二维的谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广，其分形维数为 (ln 20) / (ln 3) ≈ 2.727；它是勒贝格测度为0、表面积无穷大的不可数紧集。1928年，门格尔出版了著作《维数理论》，他在书中将自己及同行的研究成果汇集为一个有机整体，并揭示了对这一理论未来发展方向的非凡认识。
门格尔证明了图论中最重要的结果及关于图的连通性的基本定理之一——门格尔定理，即在有限图中，最小割集的大小等于在任何顶点对之间不相交路径的最大数量。这一结果收录在他的第二本著作——1932年出版的《曲线理论》中。门格尔参加了同年在苏黎世举行的国际数学家大会，作了《几何的新方法和问题》的大会报告。门格尔还发展了19世纪英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）关于距离几何的理论，被认为是这一数学分支的创始人之一。距离几何是对半度量空间和它们之间的等距变换的研究，在基本定义中出现的特征数学表达式是 Cayley-Menger 行列式，距离几何在如 GPS 之类的电信网络、化学中如NMR技术，以及一些应用程序软件包中有广泛应用。
许多著名学者应邀在维也纳研讨会发表演讲，其中包括爱德华·切赫（Eduard ?ech）、阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）、约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）、诺伯特·维纳（Norbert Wiener）、奥斯卡·摩根施特恩（Oskar Morgenstern）等人。在研讨会上，冯·诺依曼通过对布劳威尔不动点定理的推广，首次给出关于一般竞争均衡存在的纯拓扑证明，他的有关多部门经济扩张模型的论文发表在最后一期论文集上。冯·诺伊曼和摩根施特恩于1943年在普林斯顿发表的划时代著作《博弈论和经济行为》中，将不确定性引入选择理论和博弈论的发展，也可溯源到维也纳研讨会。
早在1922年读博养病期间，门格尔完成了其父的遗著《国民经济学原理》第二版的修订和出版工作，并获得了相当多的经济学专业知识，因此他认为自己心中“住着两个灵魂”——数学家的和经济学家的。门格尔独特的成长经历和教育背景，使得他在经济学家和数学家之间的合作发挥了桥梁和催化作用。维也纳学派的许多重要思想都起源于门格尔，然而却经常被归因于他人。和他的导师哈恩一样，门格尔作为哲学家并不总是得到应有的认可，实际上他可以被称为“最合乎逻辑的实证主义者”。随着纳粹在德国的崛起，奥地利政治局势逐步恶化，1936年维也纳研讨会停止活动。
1937年门格尔应聘前往美国印第安那州圣母大学任教，在那里开始研究双曲几何、概率几何和函数代数，并将大部分精力投入高等数学教育工作，撰写了有关教学新思想的文章和书籍。后来门格尔访问了同样移居美国并担任芝加哥大学哲学教授的卡尔纳普，后者按照维也纳学派的模式创建了 “芝加哥学派”。因此门格尔于1948 年到伊利诺伊理工学院教书，直到1971年退休并在芝加哥度过余生，他在维也纳和美国一共指导了18位数学博士。1980年，门格尔为哈恩的论文集《经验论、逻辑学和数学》英文版撰写了序言，概述了哈恩的一生，本文中关于哈恩的许多描述就来自这篇序言。（未完待续）
