数学的本质

数学究竟是什么？人们为什么要学那么年的数学？数学家们到底在研究什么？数学的终极目标又是什么？

从人类文明史来看，数学始于计量、土地测量。你打到了几只猎物，得有个准确的描述；你租用了地主家几亩地，地主心里得有个数，依此去收租。到了近代社会，发展出了科技，讲究的就是一个精准。现在呢，大数据时代，一切都数字化了。

对许多人来说，数学就是做数字加、减、乘、除的。这说对了一半，数学的研究对象还有形状；当然，形状也是可以用数值来表示的。另一方面，数学是现实世界的抽象，它的本质就是把对象之间的相互关系抽象出来。通俗地说，关系就是对象们分分合合的规则。我们还得控制那些规则，这就有了公设。在基本公设下进行演绎，不致于推出自相矛盾的悖论。比如，欧氏几何就是基于五条公设，来控制形状的变化规则。

目前的数学，在大的方向上，可以分为算术、代数、几何、分析、拓扑、离散数学。小的分支则有六十多个；或者说，有六十多种数学结构或体系。每一个体系都有三个组成部分：一是研究的对象，比如各种数字、形式；二是对象之间的相互关系，它们如何组合、变化。最基本的关系有三类：顺序关系、代数（运算）关系、拓扑（几何）关系；其它关系都是这三种的组合。第三是几条基本公理，或者说，该体系的出发点。

例如，数理逻辑的研究对象是命题；命题之间的组合关系有三种：非、或、与。非是否定词“不”，或就是两句话的合并，或者两个集合的并集；与则是“且”，是两个集合的交集、公共部分。当然还有其它的连结词，比如“因为。。。所以”, ”除非“，但是都可以用三个基本连结词表出。基本公理有七、八条，比如，双重否定等于肯定，De Morgan定律等。

物理学的结构何偿不是如此呢？它的研究对象是自然物体；各物体之间的关系就是它们如何运动、变形。牛顿力学的公设是牛顿第二定律、库克定律；相对论的基本公设就是等价性原则、光速不变原则；电磁学的基本公理是库伦定律、Biot-Sarvart定律。量子理论的标准模型尚无公设，所以众说纷纭，莫衷一是。（我写出来的两条公理，那些家们又不承认。）

正如物理学家们追求一个大一统的理论一样，大数学家Hilbert也问到，有不有一个公理体系，涵盖所有数学结构，而又不推出自相矛盾的结论呢？也就是至少能够自圆其说。Godel的两条不完备性定理击碎了这一梦想。正如Haisenberg的不确定性原理一样，这个世界的不确定因素太多，世界万象很难有一个统一的表述。

在数学中，数字决不仅仅是0、1、2、3. 人们能够构想出来的“数“，其实是不可计数的，很难有一个式子，可以包罗万像。数学的终极目标，就是一个收敛性问题，或者说，不可数和式有不有一个收敛的、可数的、最好是有限的表达式。物理学家们可不纠结于这一点，连续和式随手写来，管它收敛不收敛！波函数、Feymann积分都是例证。我把和式用集合表示，各变元经过换序、重组、换元，收敛性依目标式子的不同，可以一点点地实现。这就是我对几个猜想的证明思路。

对大众来说，学习数学可不是什么思维训练。一门数学其实就是一所学校的一门生意，数学竞赛更像是一个游戏。你付费来参与，其实是政府为了增加流动性。不学某门课程当然行，可是有时候你就进不了某一行业的门槛；客户也会说，你没有资格做这个。数学、科学家们干的都是苦差事，为的是，也许后人会用得着。