什么是高级的数学？

近日在网上听到这么一句话，大意是，高等数学就是微积分和线性代数的衍生，据说是哈佛大学的著名数学家邱成桐说的；本人不敢苟同，就上网搜索了一翻。原来这是中科院林群院士（不知道哪个所的？）引述的一句话：“要学好微积分和线性代数，归根结底一切高级的数学都是微积分和线性代数的各种变化。”邱的原话如何，网上查不到。如果是为了鼓励大一学生学好这两门数学课程，倒也无可厚非；如果单看后半句，也未免把庞大的数学说得太不堪了。林院士教你学数学，说要掌握微积分的精髓，一个案例就够了，他举了瞬时速度的一个例子；这也太过肤浅了。

我们说，数学认识有三个阶段，一是从正数到负数，二是从数值到变量，这在初中阶段就完成了。第三是从静态变量到极限，而极限有三种，微积分中只有点（序列）极限和体极限（微元），微积分的精髓是微元，极限只是一个过程。在拓扑学中，还有网极限；它并不能微元化，也不能线性代数化。只有在有限维向量空间上，才能发展丰富的分析学。

线性代数研究的是有限维空间上的线性结构。所谓向量的线性运算，就是加法和数量乘法，满足八条公理；而任何数学对象，如数（包括组合的数如张量）、形（几何体）、关系、集合，都可以被称作为向量，无需方向，无需大小，只要能够定义这两种运算。至于方向，人的常识是用相对于某一起始边的角度去表示；在高维实空间里，可以通过内积（满足三条公里）去定义角度；在复数空间里，角度的概念都没有了，只有正交的概念。有了内积，也就有了大小的概念；但是，大小也可以用“范数”（满足三条公理）去定义。当范数满足“平行四边形恒等式”时，它也可以导出内积；也就是说，内积空间比赋范空间更加特殊化。

这还没有触及分析学所必需的概念—距离。人对距离的认识，并非只有微积分里的欧氏距离；一般的距离是一个二元实函数，满足正定性、对称性、三角不等式等三条公理。在线性空间中，有了范数，自然可以定义距离，反之亦然。但是，在没有线性结构的空间里，有距离也得不出范数，更不用说内积。在一致空间中，距离都没有，只有满足某种“分离性”的伪距离。在爱因斯坦的相对时空中，距离并不满足上述任何一条公理；这又如何来套上微积分和线性代数？

高等数学并不只是大学里学的那十几门课程，是相对于中学里所学的初等代数、欧式几何、实函数之外的所有数学学科。目前已知的有六大类：（1）基础数学，包括集合论，逻辑，范畴论；（2）代数学，包括线性代数，抽象代数，数论；（3）几何学，包括欧几里德几何，解析几何，微分几何，代数几何，非欧几何，拓扑学；（4）分析学，包括数学分析（微积分是一种简化的版本），实变函数论，复变函数论，泛函分析，微分方程，张量分析；（5）离散数学，包括组合数学，图论，运筹学，概率统计，扰动分析；（6）应用数学，包括数值分析，物理，天文地理，经济心理，生化计算机，等等一切量化科学。

为什么会有这么多的数学学科？因为可以量化的东西太多，而且只有量化，才能精确描述现象；还有，人提出的问题永无止境，而数学家们又不能解决掉提出问题的人（政治家们可以？）。作为有人性的科学，人们只能从结构上来分析问题。从数学的角度来说，物体（对象）之间的结构可以归结为三种最基本的关系：位置的（几何的、拓扑的），顺序的（先后、大小），结合的（代数的，运算的，操作的）；其它都是这些关系的组合。数学家们的工作，就是找出控制这些关系的定律或者公理，以为后人提供经验；不是弯道超车的那种，而是实打实的人类知识。