数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
弄清化学反应的机制是化学家们的毕生任务，而弄清一种分子的结构是整个化学的中心主题。前面我们已经从几何和物理上搞清楚了这两个问题，但化学家们不相信推理，只相信自己的眼睛。他们发明了四种仪器/方法来探测分子的结构：红外线探测、紫外线可视探测、核磁共振（NMR），以及质量探测。据说在一台NMR上，一个人10分钟所学到的东西，比一个化学家一年所看到的东西还多。
红外线探测（Infrared Spectroscopy）是1900年代，在Cornell大学，由William、Weber、Coblentz等人自造设备，做了成千上万次实验，遍及所有化合物，一点一滴地手工验算波长，在1905年发表结果。他们再把设备用于天文研究，探测火星表面的温度。现在可以用于质量控制、二氧化碳监测等。
红外线探测的工作原理是，利用红外线（频率10^11到10^14Hz）去激化（Excite）化合物中的分子；被分子所吸收的红外线的频率/波长具有一定的模式（Pattern），取决于化学键的振动模式；把这些特定的频段记录下来，就可以知道化学键的构成。
红外线的能量不致于拆开化学键（要断开化学键，需要紫外线以上的能量），但足以让分子振动（Vibrate）。化学键并不是固定不动的，一个单键两端的原子可以绕键转动，键本身也可以伸缩。原子中的外层电子可以吸收特定的辐射能量而改变轨道；原子核也有自旋（Spin）。由n个原子（n – 1个键）组成的非线性分子，可以有3n – 6种基本的振荡模式，包括伸缩、弯曲（Bending）、Wagging、Twisting、Rocking、Deforming等等。远离可见光的低能的红外线，波长25到1000微米，用于探索旋转；中端的红外线（波长2.5到25微米）用于探索基本振动模式；靠近可见光的高能红外线（波长0.25到25微米）则用于激发组合振动模式。
一个分子要吸收电磁辐射，振动的键必须是极性的（Polar），极性越强，吸收的能量越多；振动引起二极矩（Dipole Moment，电量与位移之积）周期性的变化。辐射能与频率成正比；振动键只吸收与其振动频率相一致的能量（正如电子只吸收恰好等于两个能级差的能量）。把一个极性单键想像为一根弹簧连接着两个带电球体，根据Hooke定律，可以计算出振动频率：niu = sqrt(K/miu) /(2Pi c)。其中K是键力强度，miu是简约质量（m1m2/(m1 + m2)），c是光速。计算结果表明，数值都在红外线的波段。
质量探测是测量离子（通常是阳离子）的质电比（mass-charge ratio, m/z, z是离子所带电荷数，m是质量数即质子数加上中子数）的一种分析技术。其原理在1898年就已被发现；在1911年，Joseph John Thomson，那个最先发现电子的人，记录下了氖原子（Neon）的质谱；他发现Neon可以分裂为二，最多份量的同位素Ne-20，次之则为Ne-22. 他的学生Francis W. Aston通过改进仪器，发现自然出现的元素都是同位素的混合。比如，氯元素是大约75%的Cl-35和25%的Cl-37。
一台质谱仪要做三件事情：（1）离子化，即把中性的原子或分子转化为阴/阳离子，（2）根据质电比分开离子，（3）测量每种离子的相对冗余度（Relative Abundance）。质谱仪有很多种，但工作原理是一样的。离子化室保持高度真空，气体、挥发性液体可以即刻被气化；不易挥发的液体或固体，可以先加热再气化。气化室的尽头是一个电场，在正极板处，样品分子被电子枪轰击（高能电子束可来自于炽热的灯丝），分子的电子被剥离，剩下带正电的阳离子。只失去一个电子的分子，称为分子离子M+。在电场的另一端，是一系列的负极板，用以加速阳离子。电场两端的电势差可以达到70伏特，这刚好超过有机分子的键能，从而驱除一个或多个电子，还可能引发更小的碎片。不稳定的碎片又会分裂为更小的碎片。
在这些碎片化的阳离子形成后，离子束被引入一个磁场，其方向与电场方向垂直。磁力不对离子做功，但会引起离子束偏移。质电比越小的离子，偏移越多。通过改变电场强度或磁场强度，具有相同质电比的阳离子会聚集到一块侦测板的同一区域；在那里，离子产生的电流被记录下来。现在的侦测器可以记录单个的阳离子，并且可以在数十分之一秒内扫描特定的质电比区域。
出现最多离子的区域设为强度100（Abundance 100%）并称为Base Peak, 其它离子区域表示为相对于Base peak的一个百分数，一个分子的质谱就得到了。比如Octane分子C8H18 = CH3(CH2)6CH3, 分子离子M在m/z = 114处；base peak在m/z = 43处，对应离子为C3H7+; 还有离子在m/z = 29(C2H5+), 57(C3H7+), 71(C5H11+), 85(C6H13+) 处。
两个美国人Felix Bloch和Edward Purcell在1946年首先检测到了核磁共振现象，他们在1952年因此获得了诺贝尔物理奖。核磁共振现象是指，当某些原子核（如H+，C-13）被放置于一个磁场中时，它们会吸收特定频率的电磁辐射；受激的原子核产生能级的转换，这个振动信号可以被灵敏的无线电接收器检测到。通过核磁共振，可以确定样本分子中各种环境下的H原子，显示所有的H-Cl链接。
具有奇数个质子或奇数个中子的原子核，如H-1，C-13, 具有自转，就像一个陀螺或者一颗行星，其自转轴描绘出一个圆锥状的曲面。自转具有一定的频率，即每秒转多少圈，称为进动频率（frequency of precession）。自转生成磁矩（magnetic moment）, 进而产生磁性角动量（magnetic angular momentum）,有别于曲线运动物体的轨道角动量。量子计算表明，自旋角动量的大小为S = sqrt[s(s+1)] h/2π, 其中h是Planck常数，值为3.99 × 10^(-10) J s/mol；s为自旋量子数，取值n/2, n为整数。当s为半整数如1/2, 3/2时，这类粒子被称为费米子（Fermions）；当s为整数如0, 1, 2时，称为玻色子（Bosons）。H-1, C-13的s值为1/2, H-2, N-14的s值为1，C-12, O-16, S-32的s值为0。
角动量是矢量，还有方向（自转轴的指向）；沿此方向，S的分量只可以取一些离散值kh/2π, k = -s, -(s-1), …, s – 1, s，共有2s + 1种不同的状态。如s = ½时，k取-1/2或1/2；s = 1时，k取-1, 0, +1。对给定的一些原子的集合，各个原子核的自转方向、以及取何种分量，完全是随机的。如果把它们置于一个强磁场B的两极S-N之间，就只有某些确定的方向才被允许。
对于s=1/2的核子，就只有顺着B的方向（从S到N）或者逆着B的方向（从N到S）两种状态。顺磁方向称为低能状态，对应k = ½；逆磁方向称为高能状态，对应k = -1/2。两种状态的能量之差与外加的磁场强度|B|有关。实验表明，当|B|=7.05T时，H-1的两种状态的能量差为0，12J/mol, 相当于频率为300 MHz的电磁辐射能量（按E = hf计算）；而C-13的能量差为0.03J/mol，相当于频率为75 MHz的电磁辐射能量。红外线中，实现振动模式转变的能量通常为 8 KJ/mol到63 KJ/mol；紫外线探测中的电子能级之差通常为 167 KJ/mol到585 KJ/mol，核状态转换所需要的能量是非常微小的。
进动着的原子核（有的低能，有的高能），如果受到电磁辐射的刺激，而且电磁辐射的频率与进动频率相同，辐射即被原子核吸收，自转的状态就从低能变成高能。刺激信号是一个无线电频率的短脉冲信号，大约10^(-5)秒, 这足以同时翻转所有原子核的自转状态。随着原子核逐渐回复到原来的平衡状态，它们释放出一个正弦波，其频率等于共振频率（进动频率）；正弦波的强度逐渐衰减，并在回到原平衡态时归零。一个计算机记录下这个强度—时刻关系；一个数学程序/算法通过傅立叶变换，把上述关系转换成强度-位移（Chemical shift）关系，用时不到1秒钟。
在样品的有机分子中，氢原子核周围环绕着电子。运动着的电子产生一个磁场B1, 方向与外加磁场B的方向相反，从而部分屏蔽氢原子核。这些环绕的电子被称为逆磁电流（diamagnetic current），而产生的屏蔽称为逆磁屏蔽（diamagnetic shielding）。尽管B1远比B弱，但在分子层面，影响还是足够大的；屏蔽越强，外加磁场B就得越强，才能引起共振（自转状态的翻转）。
屏蔽的程度用化学位移δ--氢核或碳核在不同环境下的共振频率之差--来衡量。在外加磁场|B| = 7.05T的场中，H-1在氯甲烷 (CH3Cl) 中的共振频率 ，与它在氟甲烷（CH3F）中的共振频率，相差360Hz。如果施加300 MHz的无线电辐射，频差只占 360/（300 000 000） = 1.2 ppm (Parts per million) 。通常以四甲基硅烷（Si (CH3)4）作为比较的参照物，一个氢原子或碳原子的化学位移，定义为它在某个环境/分子结构中的共振频率，与它在四甲基硅烷中的共振频率之差，除以施加的无线电频率。
一个原子核在不同环境下的化学位移，取决于三个因素：周边原子的负电性、相邻原子的混合键（hybridization）、π键的逆磁效应。在CH3-X中，X的负电性越大，H的化学位移就越大；因为负电性大的原子，降低了与它链接的原子的电子密度，也就是增加了周边的磁场强度。sp2混合的Sigma键比sp3混合的键具有更多的s电子特性，因此其中的碳原子具有更高的负电性。对于sp2混合键及sp混合键，化学位移还与π键的电磁感应有关。
在核磁共振的谱图中，辐射能的吸收发生在化学位移处。比如，与sp3混合碳原子链接的H，吸收通常发生在δ = 0.8到1.7之间；而对于sp2键，则在δ = 4.6到5.7之间。吸收信号的个数，等于样品分子中处于不同环境的氢原子的种数。例如在异丁烷 (CH3)3CH中，有两种不同环境的氢原子：3组CH3，一组CH。又如在异戊烷CH3CH2CH(CH3)2中，有四种不同环境的氢原子：一组CH3，H接到一个C；两组CH3, 一组CH2, 每个H所链的C与另外两个C相链接；一组CH，其中H所链接的C与与另外三个C相链接。
对于一个有n种不同氢环境的分子，在1H-NMR图谱中，有n个信号。对于每一个信号，如果一个氢原子有m个不同环境的其它氢原子，而那些其它氢原子是等价的，那么此信号就将分成 m + 1个高峰。比如，在CH3CH(Cl)2中，有两种不同环境的氢原子；在组CH3中，每个H有1个不同环境的邻居，即CH中的H，它的信号在δ = 2.1处分裂成两个高峰；在组CH中的H，有3个不同环境的邻居，而这3个邻居所处环境相同，因此信号在 δ = 5.9处分成4个高峰。
对于这m + 1个峰值，强度是按照二项式系数排列的：mC0, mC1, …, mCm。在两个相邻高峰之间的间隔，称为藕合常数J（Coupling constants）。这些值表示了相邻氢原子的磁矩的屏蔽效应，通常以Hz作单位。在1H-NMR中，质子（H-1）的J值在0到18Hz之间。J的值与外部磁场B无关。
