数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
有人说，磁力就是生命，这话该如何理解？一个学生曾经问到：究竟什么是磁场？磁铁随处可见，磁悬浮列车都运行多年了，那还不简单？可仔细一想，问题并不简当。我翻遍了教科书，没有找到答案；搜遍了网络，只有一知半解。于是只能与引力场、电场、磁场作类比，推出了神子的存在，这样，世界的全貌就揭晓了。
首先，磁现像是吸铁石对周围铁质物体的吸引。早在公元前800年，希腊Magnesia省的人们发现了一种石头，四氧化三铁（Fe3O4），可以吸引铁钉铁屑。1296年，Pierre de Maricourt把铁针放在一块球状磁铁附近各处，发现针的指向总是平行于球体的一条固定的直径。这两个固定端被称为磁极。进一步的试验表明，不论磁铁的形状如何，它总有两极；即使切分成再小的块，也总是两极（Dipole）。而且，其中两极相斥，而当一块磁铁反转后的两极便相吸。
1600年，William Gilbert试验了各种材料，发现在常温下，有三种元素具有永磁性（Permanent Magnetism）：铁（Fe）、镍(Nickel)、钴（Cobalt）。基于罗盘中的指南针总是指向固定的方向，他建议地球本身就是一个大磁场。现在，人们把一块磁铁与地球的地理北极相对应的一端称为北极，另一端称为南极。其实，地理北极是地球磁场的南极。天文观察表明，地球磁极会发生周期性的翻转；地球上的生灵便会经历一次重新适应的过程。有研究表明，近100年来，地球的磁场正在逐渐减弱。地球磁场未来将如何演变，无疑关乎着人类的未来。因为磁场阻止了地球的大气层被太阳风剥离，磁场也是生物形成的前提。
1819年，Hans Oersted发现，罗盘的指针在通电导线附近会发生偏转，即电流会产生一种力场。紧接着，Andre-Marie Ampere发现电流之间也像磁铁一样吸引或排斥；他建议，形成磁铁的基本磁偶（magnetic dipole）是充分小（分子级别）的电流环路。对于一个电流为I~的闭合电路C，如果它所围的平面区域面积为A，则磁偶矩（Magnetic moment）M~定义为 AI，方向与平面区域垂直，与r~及I~满足右手螺旋法则。如果C是一个半径为r的圆，取观测位为圆心，r~是从圆心指向C上某处的位移向量，则有M~ = Pi r^2 I (n^), n^是单位法线向量，M~ = ½ Integral {r~ × J~ dL} 。对于多重线圈形成的环流，还要乘上匝数。对于三维空间里的电流密度分布J~，M~ = ½ Integral {r~ × J~ dV} ，r是从观测处到电量分布处的位移向量，dV为体积微元。
1820年，Jean Baptiste Biot和Felix Savart，确定了一根导线附近的磁场强度：B~ = K Integral {r~ × I~ dL/|r~|^3}, 此曲线积分沿着导线，K为比例系数，值为10^(-7); dL是曲线的长度微元，r~是从观测点到曲线微元dL的位移向量，这里用X~表示向量, × 表示矢量积。I~为电流强度，其数值为I = dq/dt，q为电量，t为时刻，方向为电荷的流动方向。
据此，我们把它拆分为关于点电荷的磁场公理：对于一个点电荷q，假设它的运动速度矢量为v~，那么它所产生的磁场强度为B~ = K q(r~ × v~)/|r~|^3。这与Biot-Savart定律是一致的。
对于导线某个截面P处的一组自由电子，各自带电量为e，速度vi，它们在位置O处产生的磁场为dB~ = Ke Sigma {OP~ × (vi)~/|OP|^3} = Ke OP~ × N(vd)~/|OP|^3，其中，(vd)~为平均漂移速度，N为带电粒子（即电子）总数。设导线内自由电子的体密度为miu（单位体积内的自由电子个数，是材料内那些离域电子（de-localized）），导线截面积为A。在一段长度为dL的导线内的自由电子个数为N = miu*AdL；dB~ = Ke miu*AdL OP~ × (vd)~/|OP|^3 = Ke OP~ × I~dL/|OP|^3，因为I~ = emiu*A(vd)~。在此长度dL内，再取次级长度微元dx, 内部电量dq = emiu*Adx，从而I~ = emiu*Adx/dt = emA(vd)~。
B~也可以表为B~ = K d{Integral [ r~ × qdL~/|r~|^3]}/dt, dL~沿曲线的切线方向，q为曲线上某点处的运动电量。如果电量分布在一个曲面上，可以引进电流密度的概念：J~ = I~/A = em(vd)~，即单位面积上的电流强度, 它是一个矢量。B~可表示为一个曲面积分：B~ = K {Integra [r~ × J~ dA/|r~|^3]}, 其中dA为面积微元。对于分布在一个空间区域里的电荷，J~为电流的体密度, B~则表为一个三重积分：B~ = K Integral{r~ × J~ dV/|r~|^3}。
由此可知，要增加磁场强度，可以缩短距离，或者增加电流密度。后者可以增加电子密度、或者平均漂移速度。任何能够分离出自由电子的装置，称为发电机或者电源。分离的方式有：（1）通过化学反应；（2）光电效应；（3）电磁感应原理。要增加其漂移速度，可以用正电荷/阳离子的牵引，但因为电子的运动是随机的，主要还是得把每个电子的运动速度vi齐向化；这需要调转其自转方向，而这需要一个外部强磁场来实现。
现在的高压发电都是基于电磁感应原理。1820年，Faraday和Joseph Henry发现，当一块磁铁相对于一个线圈A运动时，或者附近另外一个线圈B内的电流强度发生改变时，线圈A中会出现电流，也就是A附近会出现感应电场；其电势差emf与磁通量（B~穿过线圈A所包围的面积的流量）的时间变化率成比例。1834年，Heinrich Lenz根据能量守恒的原理，确定了感应电流的方向：感应电流所生成的磁场B1~，与原磁场B反向；或者B1产生的磁通量要抵消B的磁通量。
Faraday感应定律、Biot Savart定律，加上Coulomb电力公式，就构成了近代电磁学的基础；通过一些微积分的运算，便可推出Maxwell的五大方程。Ampere还推出了两根导线之间的作用力的大小：F = K I1*I2 /d，d为导线间的距离。
试验表明，一段长度为L、电流强度为I~的导线，在磁场B~中，所受到的磁力为 F~ = L I~ × B~。由此可公理化为，一个带电离子q，以速度v~在磁场B~中运动时，所受力为 F~ = q(v~ × B~)。由于受力方向与运动方向垂直，磁力对离子不作功。功只是力沿路径的环流量（Circulation，标量积），丢失了力的方向信息；还需要考虑扭矩（torque）T~ = r~ × F~，r~是从参照（观测）点到着力点（运动物体所在处）的位移矢量。扭矩的量纲与能量（或功）相同，只是带有方向。
对于一个质量体，按照牛顿第二定律，F~(合力) = m dv~/dt，m为物体质量，v~为线性运动速度, 有T~ = r~ × mdv~/dt = d(mr~ × v~)/dt – mdr~/dt × v~ = d(M~ × v~)/dt，第二项为零是因为dr~/dt 与v~平行，这里假设质量m不随时刻改变。M~ = mr~称为静力矩，M~ × v~则为线性动量L~。对于一个连续质量分布的物体，在一个力场F~ = dm * g~，g~为单位质量的物体所受到的力，其扭矩为积分：T~ = Integral {r~ × g~dm} = dL~/dt, L~ = Integral{r~ × v~ dm}。
对于一个在空间中连续分布的电量Q，它们形成一个电场E~ (单位电荷所受的力)；其扭矩定义为 T~ = Integral{ r~ × E~dq}, dq是电量微元。我们可以定义一个电动量D~ = Integral {r~ × u~dq} ，矢量u~的时间变化率du~/dt = E~。dq r~可以理解为静电矩，u~则为电量的扩散速度，也就是电流强度I~，因此有 dI~/dt = E~; 也就是说，dJ~/dt = E~ dG，dG是分布空间的几何微元（长度、面积或体积）。这就是为什么有人假设J~与E~成正比的原因。
对于一个长度为d，两端电量为±q的电极（如极性共价键）来说，其偶极矩(Dipole moment) 定义为 qd~，d~的方向是从负极指向正极。在一个外部电场E~中，它所受到的扭矩为 T~ = qd~ × E~ = d~ × qE~ = d~ × F~，qE~即是电极所受到的电场力。在一个极性分子内，它的扭矩等于各个键的扭矩的矢量和。
如果把一个磁偶矩M~放到一个外部磁场B~中，它会受到一个扭矩的作用：T~ = M~ × B~ = sN~ × B~ = N~ × sB~, N~是一个向量，sB为磁偶矩在磁场B~所受力的大小，沿磁力线的方向。s称为磁量，最小的基本单位称为磁子（Magneton）。对于一块磁铁，也就是一些电流回路的集合，它的磁扭矩等于所有回路的磁扭矩的矢量和。可以定义一个磁动量S~(叫spin angular momentum也行)，使得 dS~/dt = T~ = Sigma{N~ × sB~}, 也就是说，S~ = Sigma{N~ × sw~}，dw~/dt = B~，磁场就是磁子的扩散速度。
一个物理系统永远处于一个外部力场、电场和磁场之中，它所受到的力矩等于各个成员在各种场中所受力矩的矢量和。在场中的势能U = --M~ 
E~，E~为场强；这是一种负能量。一个物理系统的内能，等于各成员的势能，加上扭矩的模，还有两种动能，即自转动能和线性位移动能mv^2/2。
在微观世界里，粒子的运动都是随机的; 除了质量、电量和磁量保持不变外，其它的量都是随机变量，包括时间。所谓的不确定性准则指的是，在各种动量的表示中，两个因子的标准方差的乘积，大于或等于一个常数h/4Pi，h为Planck常数。
物质世界的理论似乎是完美地统一了，可增加磁场的办法，听起来似乎陷入了死循环，人们什么都做不了。自然界的量都有一定的范围，还有一些常量或守恒定律，让它们不随时刻而改变。真正变化的量叫做熵，自然界里诞生出生灵的目的，正是为改变。可别不信神，真正伟大的科学家都归依了神。
