七大数学难题6: 纳维叶－斯托克方程(美发飘逸轨迹)

难题六： 纳维叶－斯托克斯 (Navier-Stokes) 方程的存在性与光滑性

小船随着微风和波浪在湖中飘荡;飞机随着湍急的气流颠簸地在天空中飞行;鱼儿在水中飞翔;鸟儿在蓝天中飞翔;长发在微风中飘逸; 红旗在微风中飘扬; …...

数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过纳维叶－斯托克斯方程组的解，来对这些” 飘荡”, “ 飞行”, “飞翔”,“ 飘逸”进行解释和预测。也就是说, 这个方程组可以“算出美发在微风中飘逸的轨迹”.这就是: Navier-Stokes方程组问题:
               在适当的边界及初始条件下，3维Navier-Stokes方程组有没有光滑解。

19 世纪写下的这组方程，是粘性流体力学和气体动力学中一个重要的问题. 100多年了, 还不能断定这组 方程是否一定有光滑解. 数学家对它的描述和理解太少了。但流体力学和气体动力学用得却很多。因为没有数学理论的支持, 流体力学家和气体动力学家只能用数值模拟方法对模型进行求解，并根据求解结果来解释实验现象。象解释飞机在湍流中的颠簸现象, 你可以想象有多重要 。

数学家需要在这方面做巨大的努力, 在理论上作出实质性的进展，去揭开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

我老觉得,杨振宁为什么可以写出那么多的物理数学模型, 因为他毕业于”数学力学系”. 为什么朱熹平可以参与描述庞德莱猜想, 因为他受教于”数学物理所”.现在系科分得那么细, 对学生的功底和视野极不利.

如果现在哪个人既有严格而深后的数学系底子, 又有粘性流体力学和气体动力学的训练, 他的素质应当胜任作此类研究工作.出成果的几率太大了。

北大,吉大,北师大,南开,武大,南大,复旦,中山这8所老牌数学系应该改回”数学力学系",此力学不再仅为”牛顿力学”, 而是极为广泛的: 量子力学, 电动力学, 光电波力学, 流体力学,气体动力学,…一片广阔的天地等着呢；还愁得数学系的学生分不出去。
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1. Boltzmann 方程与流体力学相关：当粒子的Mean Free Path 趋于零时，Hilbert 展开的一阶近似为 Euler 方程组，Chapman-Enskog 展开的二阶近似为 Navier-Stokes 方程组。因此研究流体动力学在微观层次上的相应的现象即是对 Boltzmann 的研究 .

2. 流体力学和数理方程 : 流体力学问题，相应的数学模型，综合运用数学、力学和数值模拟方法对模型进行求解，并根据求解结果解释实验现象，进而认识客观事物的规律性。粘性流体和气体动力学知识面广，涉及问题非常复杂，是力学专业高年级学生具备解决实际问题能力的重要一环，并且有利于形成新的学科交叉型思维。

内容： 粘性流体和气体动力学的各种模型方程， Navier-Stokes 方程的精确解和近似解，量纲分析方法，层流边界层理论，激波现象，湍流初步

要求： 应掌握粘性流体和气体动力学的基本理论知识和主要物理概念，掌握综合运用数学、力学和数值模拟方法对模型进行求解并对实验现象进行解释的基本方法，能运用所学知识分析和解决一些实际问题。

用书： 周光炯等编著《流体力学》（第二版）高等教育出版社， 2000 年 6 月；

3. 粘性不可压缩流体运动的基本方程 : 考虑流体粘性的必要性， D’Alembert 疑题 ; Newton 流体的本构关系， Navier-Stokes 方程的导出 ; Navier-Stokes 方程的定解条件 ; 粘性不可压缩流体运动的涡量分析 ; 正交曲线坐标系中 Navier-Stokes 方程的形式 ; Navier-Stokes 方程的守恒形式

要求 掌握 Newton 流体的本构关系 ; 掌握 Navier-Stokes 方程的各种形式及其定解条件提法 ; 掌握粘性不可压缩流体运动的涡量分析方法和旋涡扩散特征。

4. Navier-Stokes 方程的精确解 :

内容 ： Navier-Stokes 方程的精确解、近似解和数值解 ; 定常 Couette 流动，平面问题，旋转问题，圆柱粘度计原理 ; 定常 Poiseuille 流动，平面问题，无限长直圆管问题和 Hagen-Poiseuille 公式，其他无限长等截面管问题 ; 非定常流动， Stokes 第一问题， Stokes 第二问题 ; 运动坐标系， Ekman 流动 ;

要求 掌握 Navier-Stokes 方程精确解的概念及存在精确解的主要流动特征 ; 掌握 Couette 流动几种主要类型的求解方法及圆柱粘度计原理 ; 掌握 Poiseuille 流动几种主要类型的求解方法及 Hagen-Poiseuille 公式。

5. 相似理论及量纲分析

内容 : 几何相似，运动相似，动力相似，热力相似 ; 有量纲量和无量纲量，常用物理量的量纲， Π 定理，无量纲参数 ; 方程的无量纲化，流体动力学基本 方程组 的无量纲形式 ; 流体动力相似和热力相似的相似律， Re 数， St 数， Fr 数， Eu 数， Pr 数和 Ec 数 ; 小 Re 数条件下的 Stokes 方程 .

要求 掌握根据 Π 定理确定无量纲相似参数的方法和主要无量纲参数的物理意义 ; 方程的无量纲化方法及小 Re 数条件下 Stokes 方程的形式。

6. Navier-Stokes 方程的近似解

内容 : 小球匀速缓慢运动问题的 Stokes 解法， Stokes 球阻公式及其应用 ; 小球匀速缓慢运动问题的 Ossen 修正解法 ; 润滑流动

要 求 小 Re 数条件下 Navier-Stokes 方程的几种主要近似解 ; 掌握小球匀速缓慢运动问题的 Stokes 解法， Stokes 球阻公式及其各种应用。

7. 粘性不可压缩流体运动的层流边界层

内 容 大 Re 数假定， Prandtl 边界层理论的基本思想 ; 边界层的名义厚度，位移厚度，动量损失厚度 ; 二维定常 Prandtl 边界层方程的导出 ; 边界层内的流动分析与流动分离现象 ; 平板边界层的 Blasius 解法 ; 边界层方程的相似解 ; 边界层方程的动量积分关系式，近似解法 ; 温度边界层方程， Reynolds 类比，相似解

要求 理解 Prandtl 边界层理论的基本概念和边界层内的流动特征 ; 二维定常 Prandtl 边界层方程及其主要解法 ; 掌握温度边界层的基本概念。

8. 气体动力学基本方程和一维定常流

内容 考虑流体可压缩效应的必要性，气体动力学问题的几个基本假定 ; 气体动力学基本方程的导出，守恒形式，特征形式，定解条件 ; 音速，亚音速流和超音速流， Mach 数，特征线，扰动传播范围，无量纲参数 ; Bernoulli 方程，气体动力学函数，滞止状态，临界状态，速度系数 ; 一维定常变截面等熵管流计算，流动特征，流量堵塞现象， Laval 喷管 ;

要求 可压缩流动的基本特征和音速、 Mach 数等概念 ; 气体动力学基本方程的各种形式 ; 一维定常变截面等熵管流的计算方法及其应用。

9. 正激波和一维非定常流

内容 激波现象与形成机理，基本假定，正激波与斜激波，激波与水跃比拟 ; 正激波基本 方程组 ，非线性方程的广义解理论，二维斜激波 方程组 ; 激波绝热关系， Prandtl 关系，速度压力关系 ; 正激波计算， Laval 喷管内的非计算工况，正激波的传播与反射 ; 一维非定常等熵流方程，简单波理论，稀疏波和压缩波 ; 活塞在等截面管内运动引起的流动和激波形成，激波管和间断分解 ; 交通流的一维可压缩流动比拟

要求 激波现象与形成机理，激波与水跃、交通拥堵等过程的比拟 ; 激波基本 方程组 ，三个基本关系式和典型问题的计算方法 ; 一维非定常等熵流的简单波理论及其应用。

10. 粘性不可压缩流体的湍流运动

内容 Reynolds 实验与湍流现象，临界 Re 数 ; 层流向湍流过渡的一个例子，线性稳定性理论， Orr-Sommerfeld 方程 ; Reynolds 平均法， Reynolds 方程组 ， Reynolds 应力 ; Prandtl 混合长理论 ; 无界固壁附近简单剪切湍流速度分布及其应用 ; 湍流模式理论，零方程模式，二方程模式，模型参数辨识 ; 圆管中的湍流，光滑管，粗糙管

要求 湍流现象和湍流研究的主要方法。 Reynolds 平均法， Reynolds 方程组 ， Reynolds 应力等概念 ; Prandtl 混合长理论及其主要应用。