对第一题进行比较严格的计算和证明。正三角形边长为 sqrt(8 - 4 sqrt(3))。

单位正方形内可以放最大多大的正三角形？

解：正三角形三个点应位于正方形的三个边，否则，如有一点位于正方形内，这个正三角形在正方形内可以膨胀更大，或者说就不是正方形内可以放的最大的正三角形。

用解析几何，令单位正方形ABCD的顶点座标如下：
A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（1，0）。

令正三角形XYZ的顶点座标如下：
X（x， 1），Y（y，0），Z（0，z）.
这意味着X在BC上，Y在DA上，Z在AB上. 0
正三角形三边相等：边长S = XY = YZ = ZX，所以S^2 = XY^2 = YZ^2 = ZX^2。
XY^2 =（y - x）^2 +（0 - 1）^2 =（y - x）^2 + 1
YZ^2 =（0 - y）^2 +（z - 0）^2 = y^2 + z^2
ZX^2 =（x - 0）^2 +（1 - z）^2 = x^2 +（1 - z）^2

因为XY^2 = YZ^2，得方程，
（y - x）^2 + 1 = y^2 + z^2
将其展开并作两边抵消，得方程（1）
x^2 - 2xy + 1 = z^2 ……………………………………………………………………（1）

因为YZ^2 = ZX^2，得方程，
y^2 + z^2 = x^2 +（1 - z）^2
将其展开并作两边抵消，得方程
y^2 = x^2 + 1 - 2z，移项得z的表达式（2）
z =（x^2 - y^2 + 1）/ 2 ………………………………………………………………（2）

将（2）代入（1）得只含x，y，不含z的方程
x^2 - 2xy + 1 =（x^2 - y^2 + 1）^2 / 4
将其展开整理，得方程（3）
4x^2 - 8xy + 4 =（x^2 - y^2）^2 + 2（x^2 - y^2） + 1
（x^2 - y^2）^2 - 2（x^2 + y^2）+ 8xy - 3 = 0
（x^2 - y^2）^2 - 2（x - y）^2 + 4xy - 3 = 0 ………………………………………（3）

现在,作变量替换，令 A = x + y, D = x - y,这样
x^2 - y^2 = (x + y）*（x - y）= A * D
x - y = D
4xy = (x + y）^2 -（x - y）^2 = A^2 - D^2
将以上三式代入（3），得方程（4）
（A * D）^2 - 2 D^2 + A^2 - D^2 - 3 = 0 ……………………………………………（4）

将其整理，得方程（4）的解
（A * D）^2 - 3 D^2 + A^2 - 3 = 0
（A^2 - 3）D^2 + A^2 - 3 = 0
（D^2 + 1）*（A^2 - 3）= 0
D^2 + 1 = 0和/或A^2 - 3 = 0
D^2 + 1 = 0 是不可能的。
从A^2 - 3 = 0 得 A = x + y = sqrt(3)

从S^2 = XY^2 =（y - x）^2 + 1, |y - x|越大，则S也越大。期望y 和 x的差为最大。
但受限于0 max|y - x| = max| 2x -（x + y）| = | 2*max(x) -（x + y）| = |2 - sqrt(3)| = 2 - sqrt(3) 或
max|y - x| = max| 2y -（x + y）| = | 2*max(y) -（x + y）| = |2 - sqrt(3)| = 2 - sqrt(3)
所以要使S为最大，即|y - x|为最大，
x = max(x) = 1，y =（x + y）- x = sqrt(3) – 1或
y = max(y) = 1，x =（x + y）- y = sqrt(3) – 1。
将此二组解带入z的表达式（2），得方程的二组解
x = 1，y =sqrt(3) – 1，z = 1/2 +（sqrt(3) – 3/2）= sqrt(3) –1 或
x =sqrt(3) – 1，y = 1，z = 1/2 -（sqrt(3) – 3/2）= 2 - sqrt(3)。

因为S^2 = YZ^2 = y^2 + z^2，用第二组解
S^2 = 1 + ( 2 - sqrt(3) ) ^2 = 8 - 4 sqrt(3)
边长S = sqrt ( 8 - 4 sqrt(3) )。

结论：
I．单位正方形内可以放的最大的正三角形XYZ的顶点座标如下：
X（1， 1），Y（sqrt(3) – 1，0），Z（0，sqrt(3) – 1）. 或
X（sqrt(3) – 1， 1），Y（1，0），Z（0，2 - sqrt(3)）.

正三角形的一个顶点位于正方形的某一顶点。构成这一点的正三角形的两边与构成同一点的正方形的两边分别成15度夹角。正三角形的另外两个顶点分别位于正方形的另外两边。

显然，应该还有另外两个可以放在单位正方形的最大的正三角形。由于初始设置正三角形的三个点位于正方形的三个边，只能求出两个解。如选择正方形的不同的边，则可求出其它两个解。

II. 单位正方形内可以放的最大的正三角形的边长S = sqrt ( 8 - 4 sqrt(3) ) = 1 / cos(15度)。