多谢！有一步没有明白，能否讨论一下。内容在里面

为叙述方便，我将您原来的推导中各公式加上了序号，这样说起来更方便一些。

从第（4）式到第（5）式没有看懂。因为（4）式右面第一项是 -GM/y. 如果分母是t, 即-GM/t 是可用直接积分的，但如果分母是y可以吗？

从结果（6）来看，t=0 没有意义，这和物理实际好像不符。

在常微分方程中，记得有一类可解方程名为欧拉方程，在n阶次微分项  （d^n）y/（dt）^n  前面有 t^n 这样的系数 （对这题来讲只有二次导数，其对应的欧拉方程系数为 t^2），但本题中系数是y^2   ( 3式中两边同乘y^2), 有些不好处理。  但是似乎应该有某种变换可以将其变为常系数方程或某种能直接积分的方程。

我有一个思路，不知道有没有用。因为当z《R 的时候，z =1/2 g t^2, 因此如果 z =f（t），则f（t）因该有这个性质。即当t足够小时，f（t）= 1/2 g t^2 + 高阶无穷小。凭直觉，这里t足够小，应该和前面得出的周期相比而言，即 T=2*pi*sqrt(R/g)， 做变换，tao = t/T = t*sqrt(g/R）/2pi ； 用tao来做无量纲的变量。

另外，虽然不影响这个讨论，我后来仔细想了一下，发现（1）式右面应该有个负号，因为万有引力是向下的，和z坐标相反。此处z是石头在空中到地面的距离，向上为正向。

这个方程换一下元就很容易（是不是我想简单了）？
GM/(R+z)^2 = d^2z/dt^2            （1）
 
设 y = R+z      （2）

 则      d^2y/dt^2 =  GM/y^2     （3）
 
dy/dt = -GM/y + C1           （4）

y = -GM*ln(t) + C1*t + C2     （5）

因此
z = y-R
  = -GM*ln(t) + C1*t + C2 - R                 （6）
C1 和 C2 都是常数