猜想成立

探求f(x)的存在性比寻找f(0)的值更有意思，虽然较繁。 我之前的f(x)不存在的猜想是错误的，在实数范围内的确
可以找到一个(其实有无数个)函数f(x)满足
     f(f(x)) = x^2 - x + 1          ------ (1)
过程如下：

设g(x)=f(f(x)) = x^2-x+1
首先注意 g(x)=(x-1/2)^2 + 3/4 关于x=1/2对称，而且对任何x都有g(x) >= 3/4 > 1/2
假若我们能找到一个定义在[1/2, ∞)范围内f(x)满足(1), 则很容易把它扩展到所有实数范围，
只需对所有 t<1/2, 定义
    f(t) = f(1-t)
因为g(t)=g(1-t), 而且没有任何一个实数u能使得g(u)=t<1/2, 这样扩展的f(x)对所有实数都满足(1)

因此，问题归结为寻找定义在[1/2, ∞)中的一个函数f(x)满足(1)

基本思路是"函数链条"

 --- 定义1
设有实数列a[i]
  ..., a[-n], a[-n+1], ... a[-1], a[0], a[1], ... a[n], ...
满足
   a[i+2] = g(a[i]) = a[i]^2 - a[i] + 1      i=...-n,...-1,0,1,...n...              
则称a[i]是一个"函数链"。 不同于通常的数列，函数链没有第一项，我们可把它理解为定义在整数集Z上的函数
   ** 注意: 函数链中的递推关系是从i到i+2,跳过了中间的i+1

如果能把区间[1/2,∞)分解为许多函数链的并集， 并且任何两个函数链之间没有相同数， 则我们可把[1/2,∞)中任意点t的
函数值f(t)定义为它在函数链中所处位置的下一个元素的值:
      f(a[i]) = a[i+1]
这样的函数f显然满足(1)

如是，问题归结为把区间 A=[1/2,∞) 分解为许多函数链的非交并集, 解法如下:

注意g(x)在A中单调，因此它有反函数 g^(-1)(x)
定义
      g^0(x) = x
      g^1(x) = g(x)
      g^2(x) = g(g(x))
      ...
      g^n(x) = g(g^(n-1)(x))
      g^(-1)(x) =  g^(-1)(x)
      g^(-2)(x) = g^(-1)(g^(-1)(x))
      ...
      g^(-n)(x) = g^(-1)(g^(-n+1)(x))
      ...
定义A中一个关系~如下：
     a~b  如果有整数m(可为正，0或负)使得
      a = g^m(b)
不难验证~是等价关系, 因此它把A分为许多等价类的非交并集合, 等价类的个数有无穷多个（而且是不可数的)
注意g(1)=1，因此1的等价类只有它一个元素，而对不等于1的任意数t,有g(t)>t (因g(t)-t=(t-1)^2>0), 因此t的等价
类有无穷个元素(注意是可数无穷)。

对于这些无穷多个等价类（每个类又有无穷个元素）， 由选择公理，我们可以把这些等价类每两个组成一组，这些组之间也是彼此非交的
考虑其中任意一组 {B， C}, B, C分别是等价类，因此可把B列为
   ..., b[-n], b[-n+1], ...., b[-1], b[0], b[1], ... b[n], ...
满足  b[i+1] = g(b[i])
又把C列为
   ..., c[-n], c[-n+1], ...., c[-1], c[0], c[1], ... c[n], ...
满足  c[i+1] = g(c[i])

现在是关键的一步： 我们把上面两个数列合并，得到一个满足定义1的函数链:
定义数列E为
    ..., b[-n],c[-n]，b[-n+1],c[-n+1], ..., b[-1],c[-1],b[0],c[0],b[1],c[1],...,b[n],c[n],...
则有  e[i+2] = g(e[i]), 即它满足前面定义1条件。 合并B和C得到的E是一个函数链

至此，我们已经把A中所有不等1的数的集合分成了非交函数链的集合，因此可再其上定义满足(1)式的函数f(x), 再加上定义f(1)=1, 对A
中所有数（从而所有实数）f都有定义， 证毕。

此存在性证明是非构造性的（用了选择公理），不够完美，但我们可从中知道与原题相关的两点:

1. 我们能求出f(1)的值是因为1的等价类只有它一个元素。 能求出f(0)的值是因为0与1关于1/2对称
2. 对于A中不同于1的任何数(例如2), 我们可以任意选择一个等价类与之配为一组，因此，它的值可以有无数种可能